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La condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme du second membre 

 de cette inégalité soit positif quelle que soit la valeur de sini//(l — e), est: 



IHl — e) < 16£2(1— s); 



et cette condition est sûrement juste en supposant 1(1 — e) < 2s. Il en résulte que: 



iÇ sin/iy//f dy j ^ 1 C 



] ï—2k cos Lt ulk -L F ■ e^^'v + l \ = Ik ' ] 



eim/J^\ = 27r \lk\ 



Revenons alors à l'équation (38) page 28 et faisons tendre u vers l'unité. 

 Il faut distinguer les quatre cas où m est congru à 1, 2, 3 où 4 par rapport au 

 module 4. 



Considérons d'abord le cas où m est congru à 1 (mod. 4) et cherchons la 

 valeur de la série 



p = m 



^. l+a2Pii2p 

 p=l 

 pour u ^ 1. 



De l'identité 



(x — a) (x — a^) (x — a'") = x'" — 1 



on tire en remplaçant x par ix: 



(ix-a) (IX— a«) {ix — a'") = {ix)'"—l (42 a) 



et en remplaçant x par — ix : 



(-/x — a) (—IX — a") i—ix — a'") = (— ix)'"— 1. (42 b) 



D'après notre hypothèse i'" = i, et ces deux équations se laissent écrire: 



(x + ia) (x + ia^) (x + f«'") = x'" + i 



et 



(x — ia) (x— la-) (x — ia'") = x'" — i. 



En prenant le logarithme et en différentiant par rapport à x on aura les 



deux équations 



1_ 1 1 ^ mx""-^ 



X— la ' X— iV "^x— Ja"'~ x"»— I 



et 



X + la "^ x^ia^ '^' "*" x + ia"' x'"+ i 



d'où il suit par soustraction: 



^ia^ 2ia^_ , 2ta" ' _ 2 imx'"-i 



x^+a^ ^" x^+a* "^ xä + a«»" x^^ + l 



En y posant x = 1 on obtient : 



ÏH 



dans l'hypothèse i"" = 1 



^f_ + " + + -^— = — (43) 



