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La somme de la série entre parenthèses est zéro parce qu'elle consiste en termes 

 qui ont deux et deux la somme de zéro (voir- page 34). 

 On trouve ainsi : 



I + 2i 



/m , m\ 2î + 'î'_i "' /m , 3/n \ ^m m 3m_ 



et 



l-u' 



mi mi 21E 



• u 4 



2 ' 2 



Un calcul élémentaire montre que la vraie valeur de la quantité entre paren- 

 thèses est zéro pour u = 1, et on a alors: 



mi 



P = 



d'où il suit que la valeur de la série 



\ l-La2p„2mj + 2 

 P = 1 *Jx 



dz 



pour u = 1 est — ^ . 



Ces résultats obtenus, nous sommes en état d'indiquer comment varie le module 

 de 0{au) quand u tend vers l'unité. 



Considérons l'équation (38) page 28. Le résultat des recherches précédentes se 

 laisse exprimer de la manière suivante: 



Dans le cas où le nombre entier m est congru à 1 (mod. 4) on a l'expression 

 asymptotique: 



^ ' 2 4/71 /u 



Dans le cas où m est congru à 2 (mod. 4) on a l'expression asymptotique 



(I>{au) = -^. 



Lorsque m est congru à 3 (mod. 4) on a asymptotiquement: 



ji/ ^ m , n 



<P(«a) = _^+^_^, 



et enfin quand m est congru à 4 (mod. 4) on a asymptotiquement: 



1 + u" 



0{au) = aiu i 



3m 4 



1 — U 2 



1 m 3m 3hi 



;p -i- 2a4 (l-Lu 2)u 4 



sin mt//u 



rfy_ 



l-u'f cos2my/u + u^'" «"^^+ 1 



Ces expressions montrent le caractère des points singuliers de la fonction <P{s) 

 sur le cercle de convergence. 



