﻿INDLEDNING. 



De Talformer, man fortrinsvis har undersøgt, er saadanne, hvor hverl Tal 

 Ivan siges at fremstille en Parallelforskydning i et Euklidisk Rum (med et vilkaar- 

 ligt Antal Dimensioner), og hvor Tallenes Addition svarer til Sammensætning af 

 saadanne Parallelforskydninger. 



Mere almindeligt kunde man behandle Transformationerne i en vilkaarlig 

 Gruppe som Numeraler, hvis Addition bestemmes ved Transformationernes Sammen- 

 sætning; det maa da forudsættes, at naar Gruppen indeholder én Transformation, den 

 da ogsaa indeholder den omvendte, altsaa ogsaa Identiteten, der betegnes med 0. 



Dersom nu en saadan Gruppes Transformationer i specielle Tilfælde er 

 cykliske , og én af disse cykliske Transformationer er A , for hvilken altsaa 

 A + A + A -|- .... (n Gange) = O, men A selv forskellig fra O, da kan man straks 

 indse, at der ikke vil kunne opstilles nogen Multiplikationsregel, der tilfredsstiller 

 ét af de distributive Principper, f. Eks. det, der udtrykkes ved Ligningen M-{P-{-Q) 

 =^ M- P+MQ, uden at Division med A i Almindelighed bliver umulig. Thi for det 

 første vil Ligningen M-{P+0) = M- P+M-O medføre, at M-0 = O, og dernæst vil 



M-A + M-A-\- .... (n Gange) = A/-(A4-A+....) = M-0 = 0; 

 altsaa maa MA fremstille en cykUsk Transformation (eller 0). Ligningen MA = B, 

 hvor B er vilkaarlig, vilde altsaa i Almindelighed ikke faa nogen Løsning med 

 Hensyn til M. 



Da nu de i Videnskabernes Selskabs mathematiske Prisopgave for 1905 

 omhandlede Numeraler fremstiller lineære brudne Transformationer, hvis Sammen- 

 sætning definerer Numeralernes Addition, og da der blandt disse lineære Trans- 

 formationer findes uendelig mange cykliske Transformationer (af en hvilken som 

 helst Orden), har denne Opgave i Virkeligheden gennem ovenstaaende Bemærkning 

 faaet en foreløbig Besvarelse; hvilken Multiplikationsregel man end vilde opstille, 

 vilde der nemlig altid findes en saadan Mangfoldighed af Tilfælde, i hvilke Division 

 vilde blive umulig, at man ikke kunde betragte en saadan Multiplikationsregel 

 som tilfredsstillende. 



I det følgende skal vi nu imidlertid behandle Spørgsmaalet noget nærmere, 

 idet vi undersøger de Multiplikationsregler, der i det hele taget kan opstilles for 

 de omtalte Numeraler, under Forudsætning af, at ét af de distributive Principper 

 fastholdes. 



36* 



