﻿296 18 



Naar el singulært Numeral multipliceres med M, faar man 

 altid et singulært Numeral. 



18. Et ordinært Numeral kan aldrig ved Multiplikation med M 

 give et singulært Numeral. 



Dette følger umiddelbart af 14. 



19. To involutoriske Numeraler, som ikke har nogen Rod fælles, kan altsaa 

 ikke ved Multiplikation med M give 2 Numeraler, der tiar én enkelt Rod fælles: 

 vi vil nu bevise, at de heller ikke kan give 2 identiske, eller, hvad der er det 

 samme, at et ordinært Numeral ved Multiplikation med M aldrig kan 

 give 0. 



Det skal altsaa bevises, at M-{ai,«o)-i og M ■ (ß^, j3n)--[ ikke begge kan være 

 = (fj,f2)_i, naar «j, a,, ßi og ßo er 4 forskellige Tal. I det Tilfælde, da «j og «, 

 er harmonisk forbundne med ß^ og /S,, følger Sætningen af 13. Er («1,02) ikke 

 harmonisk forbundne med (ß-y,ß2), kan a'^ bestemmes saaledes, al a^ og a[_ er 

 harmonisk forbundne med ß^ og ß^. Da nu i Følge 13 M-{a^,a[)-i og A/-(/9i, /îj)-! 

 har harmonisk forbundne Rodpar, og da M'(aj,aO-i og M • {a-i^,a.^)-\ har en Rod 

 fælles (15), kan M- (ai,a2)~\ og M • {ßi,ßo)-i altsaa ikke have de samme Rødder. 



20. I det foregaaende har vi altsaa fundet følgende Resultater angaaende 

 Multiplikation med et Numeral M, som ikke er Nulmultiplikator: 



1) M ■ N kan kun blive O, naar N = 0. (,17 og 19). 



2) Naar N har konstante forskellige Rødder, vil M- N ogsaa 

 have konstante forskellige Rødder. (14 og 19). 



3) Er Net singulært Numeral, vil M ■ N ogsaa være singulært (17). 



4) Naar N har en konstant Rod, vil M • N ogsaa have en konstant 

 Rod (15), og omvendt. 



Idet vi stadig beholder den samme Multiplikator M, findes der 

 altsaa en ved denne ,*Multiplikator bestemt entydig Transformation 

 Hm, som fører fra de forskellige Multiplikanders Rødder (a, ß, y, â, . . .) 

 til de tilsvarende Produkters Rødder («', ß', y', d', . . ). 



Om denne Transformation véd vi (13), at dersom Dobbeltforholdet («, ß, y, â) 

 = — 1, da vil ogsaa {a, ß',y',d') være = —1. 



Da man nu ved at gaa ud fra 3 forskellige Tal «, ß, y kan danne en Gruppe 

 af Tal, som indeholder a, ß og ;-, og som har den Egenskab, al naar 3 bestemte 

 Tal findes i Gruppen, da vil ethvert med disse 3 Tal harmonisk forbundet 4de Tal 

 ogsaa findes i Gruppen, og da der i en saadan Gruppe altid findes et Tal å saa- 

 ledes, at «, ß, y og o faar et hvilket som helst opgivet reelt rationalt Dobbeltforhold, 

 ses det, at den nævnte Transformation lu har den Egenskab, at naar 

 {a,ß,y,d) = / er reelt nationalt, da vil (a', ß',y',a') ogsaa være = Å. 



