﻿23 301 



et Keglesnit invariant, altsaa Gruppen af Bevægelsestransformationer i den ilikc- 

 Euklidisive Plan. Vil man altsaa forsøge at regne med ikke-Euklidiske Bevægelses- 

 transformationer som Numeraler, saaledes at Addition bestemmes ved Bevægelsernes 

 Sammensætning, da er det i Følge det foregaaende umuligt at finde én til denne 

 Addition svarende tilfredsstillende Multiplikation. 



36. En anden geometrisk Fortolkning kan man faa paa følgende Maade: 



Til Transformationerne ( I, f '.'),( " / ) • • lader vi i det Euklidiske 



3-dimensionale Rum svare saadanne Punkter A, A^, A., . . . ., hvis Koordinater i et 

 sædvanligt tetraedralt Koordinatsystem er henholdsvis (a : b : c : d), {a^ : b^ : c^ :d^), 



(a, : b, : c.^ : d.^), . . . .; til Identitetstransformationen (^ - I svarer altsaa et Punkt O 



med Koordinaterne (1 : O : O : 1). 



Alle Numeralerne bliver altsaa én-éntydig fremstillede ved Rummets Punkter 

 men de Punkter {a: b : c : d), der tilfredsstiller Ligningen 



ad — bc = O , 

 svarer ikke til egentlige Transformationer. 



Den Flade af 2. Orden, som fremstilles ved denne Ligning, kalder vi Funda- 

 mentalfladen; den indeholder 2 Systemer af rette Linier, fremstillede ved de to 

 Systemer af Ligninger: 



ka + b = 0, /cc + (/ = (Systemet af l.Art) 



og 



ka-\-c = 0, kbi-d^O (Systemet af 2. Art), 



hvor k er en variabel Parameter. 

 Har man nu : 



{:^[)+(:l] -(::/)■ 



kan man udlede en geometrisk Afhængighed mellem de til Numeralerne svarende 

 Punkter A^, A og A.,, samt det til Identitetsnumeralet svarende Punkt O. 



Man har nemlig 



aOi+ci»! ba^-\-db^ __ ac^-'^-cd^ bCi-\-ddj^ 



a.^ bo c, rf. 



Lader man altsaa A ligge fast, medens A^, altsaa ogsaa A,, varierer, da defi- 

 nerer disse Ligninger en bestemt Kollineation, i hvilken A^ svarer til A., ; i denne 

 Kollineation vil Fundamentalfladen svare til sig selv. Har man nemlig a^d^ — fcjCj ^ O, 

 da er ogsaa a.,do~boC2=^{!^'i—i>c){a^d^ — b^c^) = ^ og omvendt (da ad — ftc =£; 0). 

 De Punkter (a^ : ftj : c, : t/J, som svarer til sig selv i den omtalte Kollineation, 

 bestemmes ved Ligningerne: 



der kan skrives paa Formen : 



