﻿25 803 



TILLÆG. 



Om Tal med ikke-kommutativ Addition. 



27. Som det fremgaar af det foregaaende, fører de lineære Transformationer 

 ikke til et System af Numeraler, til hvis Addition der kan knyttes en brugelig 

 Multiplikation, og Spørgsmaalet om Eksistensen af Tal med ikke-kommutativ Addi- 

 tion er altsaa endnu ubesvaret. Her skal vi nu til Slut gøre et Par almindelige 

 Bemærkninger om dette Spørgsmaal. 



Forlanger man, at Tallene, foruden den omhandlede Art af Addition, 

 skal have en Multiplikation, der tilfredsstiller det første distributive 

 Princip, som udtrykkes ved Ligningen 



m(a-\-b) = m- a -\- m- b (I), 

 og tillige, at der eksisterer en bestemt Enhed 1, hvis Modsætning ( — 1) 

 tilfredsstiller Ligningen 



a(-l) = (-l)-a = -a (II), 

 da kan det bevises, at Tallene ikke eksisterer. 

 Af I følger nemlig for m = — 1 : 



(-l)(a+fc) = (_l)a + (-l)fe, 

 hvoraf ved Anvendelse af II 



(-6) + (-a) = (-a) + (-ft), 

 d. V. s. Additionen maatte være kommutativ. 



For Tal med ikke-kommutativ Addition kan altsaa Ligningen a-( — 1) = ( — l)-a 

 ikke tilfredsstilles for enhver Værdi af a; hvis saadanne Tal skal have en i Almin- 

 delighed entydig Division, maa der lil ethvert a i Almindelighed svare en bestemt 

 Multiplikator lUa , som gør 



iiia ■ a = — a. 



Denne Multiplikator (Modsætningsmultiplikatoren til a) er altsaa ikke kon- 

 stant, men i Almindelighed afhængig af a. 



Ä8. Dernæst kan det bevises, at naar man forlanger det første distri- 

 butive Princip tilfredsstillet, og fordrer, at Division af første Art, 

 i hvert Fald for én Divisor, skal være entydig, da kan hverken det 

 andet distributive Princip eller Multiplikationens kommutative Prin- 

 cip tilfredsstilles. 



Af det første distributive Princip følger nemlig: 



m • O = m (( — a) -\- a) = m ( — a) -\- m- a , 

 altsaa 



/n( — a) = — {ma). 



1). K, I). Vidensk. Selsk Ski-., 7. Utukke', naturvidcnsk. og niiilhcm. Afd. VI. 7. 39 



