﻿27 305 



30. Vil man opstille Eksempler paa Tal med ikke-kommulativ Addition, 

 vilde del i Tilslutning lil Indledningen være naturligt at søge Transformations- 

 grupper, der ikke indeholder cykliske Transformationer, og hvor Sammensætningen 

 af 2 Transformationer i Almindelighed ikke er kommutativ. Det simpleste Eksempel 

 paa en saadan Transformationsgruppe i Planen er den projektive Gruppe med el 

 3-dobbelt fast Punkt. Vælger vi dette uendelig fjærnt, kan Transformationerne 



fremstilles ved Ligningerne : 



.r = x' ^a , 



y = y' + fc + ex' , 



hvor (x\ y') og (x, y) er Parallelkoordinater lil henholdsvis del givne Punkt og del 

 transformerede Punkt, medens a, b og c er Konstanter. 



Transformationen kan betegnes ved Tegnet (a, b, c), og Loven for Addition af 

 2 saadanne Numeraler («, b, c) og (a^,b^,c^) bliver da: 



(a,b, c) + (aj,fci,Ci) = (a + Oj , ft+ fcj +aiC, c + cj. 



Additionen er allsaa kun kommutativ, naar a^c = acj^. Identiteten bestemmes 

 ved (O, O, 0), og Modsætningen angives ved Ligningen : 



-^ (a, fo, c) = (—a, ae — b, — c). 



Søger man nu en Mulliplikationsregel, der tilfredsstiller del første distributive 

 Princip og del associative Princip, finder man let følgende Form for Produktet: 



(m, n, p) ■ {a,b, c) = {ma, mpb-^^nc, pc). 



Denne Mulliplikationsregel giver 



(m, n,p) ■ ((a, b, c) + (a^ , b^ , c^)) = {m, n,p) ■ (a + Oj , b-\-bi -^a^c, c-\-Ci) 

 = (ni(a + ai), mp{h^b^) -f mpa^c + n(C'^Ci), /)(c-|-Ci)), 



hvilkel netop er Summen af de to Produkter {m,n,p)-{a,b,c) og (7n,n,/3) (a,, fej, t,); 

 allsaa gælder det første distributive Princip. Del associative Princip viser sig ogsaa 

 al gælde. 



Reciprociteten (Divisionen) er i Almindelighed mulig og entydig; men der 

 gives dog Undtagelser, idet et Produkt kan antage P^ormen (O, U, 0), uden at nogen 

 af Faktorerne antager denne Form. Der eksisterer allsaa „Nuldivisorer". 



31. Man kan udvide det fundne Eksempel, idel vi betragter den Gruppe af 

 Jonquières-Transformalioner, der bestemmes ved Ligningerne: 



X == æ'-j-Oi , 



y = y'+a, + a^x' + a^x"^^ ...-\-anx'" 2. 



Additionsregien bliver her : 



(a^,a,,...an)-\- (bl, b.,,...b„) = (Cj, c^, ... c„) , 

 idel 



39* 



