﻿§ 1. In den nachfolgenden Zeilen werde ich eine kurze Übersicht über 

 einige Untersuchungen betreffend die linearen DitTerenzengleichungen geben, die 

 ich in meiner, in dänischer Sprache erschienenen, Habilitationsschrift ' angestellt 

 und nachher in einer Reihe kleinerer noch unpublizierter Abhandlungen weiter 

 geführt habe. 



Ich nehme an, dass die Koeffizienten P,(.r) in der Differenzengleichung 



t = K 



I 



Pi{x)ii{x-\-i) -- 



(1) 



analytische Funktionen sind, und will dann die Integrale als Funktionen der kom- 

 plexen Variablen .r untersuchen. 



Die Bestimmung des allgemeinen Integrals lässt sich auf die Bestimmung 

 eines Fundamentalsystemes von Integralen «1(0;), u,,{x), . . ., Uk{x) reduzieren, die 

 analytische Funktionen von x sind der Art, dass die Determinante: 



u^{x) U-A^') ■ ■ ■ «A■(.^•) 



«JX+I) H,(.T+1) ...Uk{x+1) 



D{x) 



(2) 



Hj(cC-!-/f— 1) H,(a- + A-— 1) ... HA.(X-L/f — 1) 



nicht identisch verschwindet. Das allgemeine Integral hat dann die Form : 



II (x) = Ä- 1 (x) u 1 (x-) + TTj (x) u 2 (a;) + . . . + nu {x) uu {x) , (3) 



wo Tri{x) willkürliche Funktionen sind, die den Periodicitätsbedingungen 



m (æ) = n-,- (a; + 1) (z = 1, 2, . . ., k) 

 befriedigen. Das Vorkommen dieser Funktionen giebt dem Integrationsproblem 

 einen unbestimmten Charakter. Man könnte versuchen, es auf die Weise genauer 

 zu präzisieren, dass man verlangte, dass u.^{x), . . ., Ufc(x) so einfache analytische 

 Eigenschaften wie möglich haben. Wir werden zeigen, dass, wenn man den 

 Koeffizienten P,(x) gewisse beschränkende Bedingungen auferlegt, sich zwei Funda- 

 mentalsysteme von Integralen bilden lassen, die sich vor allen anderen auszeichnen. 

 In verschiedener Weise kommt man ganz natürlich dazu, eben diese beiden Fun- 

 damentalsysteme aufzustellen. Gegenseitig sind sie völlig gleichberechtigt, und die 



' Bidrag til de lineære Differensligningers Theori. København 1910. 



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