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Untersuchung der analytischen Eigenschaften des einen Systems — besonders sein 

 Verhalten in der Umgebung des Punktes x = oo — wird in hohem Grade durch 

 die Einführung des anderen Systems erleichtert, und umgekehrt. Wir wollen 

 aber zuerst die Integrale im endlichen Teile der Ebene betrachten, und — ohne 

 einschränkende Bedingungen für die Koeffizienten aufzustellen — eine Reihen- 

 entwicklung angeben, welche das Vorhandensein eines Fundamenlalsystemes von 

 Integralen zeigt, die analytische Funktionen von x sind, und die die Integrale in 

 allen Punkten darstellt, in welchen sie holomorph sind. 



Nehmen wir an, dass die Koeffizienten P,(x-) (/ = 0, 1, 2, . . ., /c) die singulären 

 Punkte ß.^, ß^, ß-i, . . . haben, die auch in unendlicher Anzahl vorhanden sein 

 können, und bezeichnen wir mit {ß) die Menge der Punkte: 



/i = 1,2,3,... \ 



P'^^ \s=-..., -2,-1, 0, A-, A-Li, k^2, .../■ 



Die Nullpunkte für P^{x) seien ai,a^, a.j, ... und die Nullpunkte für Pk{x — k) 

 seien ?'i, / •., Tsj • ■ • • W"' bezeichnen mit (a) die Menge der Punkte: 



\s = 0,1,2,.../ 



und mit (y) die Menge der Punkte : 



^■■ + ' (s=0,l,2,...)- 



Betrachten wir ein zusammenhängendes Gebiet, begrenzt von einem ganz 

 im Endlichen liegenden geschlossenen Kontur C und einer Reihe von beliebig 

 kleinen Kreisen um diejenigen Punkte in («), (ß) und (y), die innerhalb C liegen. 

 Wenn einige der Punkte in iß) kritische Punkte sind, verbinde ich diese mit dem 

 Punkte 00 durch Verzweigungsschnitte. Das so ausgeschnittene Gebiet bezeichne 

 ich mit /'; ich setze nun: 



u(x) 



=-^RA.v)f{x+,) (4) 



und bestimme R.,(.v) durch die Rekursionsformel 



I\{x+i^)R,{x)+P^{xi-^-l)R,-i(x) + ...-t PK[x-\u — k)R,.,A.r) -^ (5) 

 mit den Anfangsbedingungen 



P,[x)R,(x) = 1 ; fi_i(æ) = R^2{x) = . . . = Rx^ki^) - 0. 

 ii{x) befriedigt dann formell die Differenzengleichung (1). Man kann zeigen, dass 

 man in unendlich vielen Weisen die arbiträre Funktion f{x) so festlegen kann, 

 dass die Reihe (4) innerhalb r gleichmässig konvergent ist (z. B. indem man f{x) 

 einer passend gewählten ganzen Transcendenten gleich setzt); von diesen Fest- 

 legungen geben eine Anzahl von k ein System von linear unabhängigen 

 Integralen, die innerhalb des Gebietes /' eindeutige, reguläre, analy- 

 tische Funktionen von x sind. 



