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Es ist leichl zu seilen, wo diese Integrale singulare Stellen haben. Teilen wir 

 die Nullpunkte für P„{x) in Gruppen, so dass alle Punkte, deren DilTerenzen ganze 

 Zahlen sind, zu derselben Gruppe gezählt werden. Wir nehmen an, dass 



0.p , «p+i , «p+2 , ■ • • 



eine solche Wurzelgruppe bilden, und dass die Multiplicität dieser Wurzeln 

 beziehungsweise iig, n^, n.,, . . . sei; denkt man sich sie so geordnet, dass 



^H {a„) > m («p+i) > 9Î («p+2) > . . . , 

 so zeigt die Rekursionsformel (5), dass für u > up ein Pol ist für Rv(x) und zwar 

 höchstens von der n^-ten Ordnung, und allgemein, wenn u > «p — «p+s, so ist Up+s 

 höchstens ein (/iß + Hj + . . . ns)-doppelter Pol für Ri,{x) und damit auch für die 

 Integrale. 



Man kann ebenso die Zahlen ri,r2'Ï3^--- '" Gruppen teilen. Es seien 



rp.rp+i>rp+2, • • • 



eine solche, und es sei 



yi(rp) < 9î(rp+i):< 3i(rp+2) < • • ■ , 



so sieht man, wenn nis die Multiplicität von yp+s bezeichnet, dass die Integrale 

 in unsrem Fundamentalsystem für x = yp, yp-\-l, fp+2, ... yp+i — 1 höchstens 

 niQ-doppelte Pole haben, und allgemein für 



X = Tp+s, rp+s+ 1 , ■ • ■ Tp+s+i — 1 

 höchstens (mf, ~|- nii + ... -4-ms)-doppelte Pole haben. 



Jeder Gruppe, die eine endliche Anzahl Nullpunkte enthält, entspricht also 

 eine unendliche Reihe Pole, die alle endlicher Ordnung sind. Wenn aber eine 

 Gruppe unendlich viele Nullpunkte enthält, so wächst die Ordnung der ent- 

 sprechenden Pole über jede Grenze hinaus, wenn die Pole sich dem Punkte oc 

 nähern. 



(a)' und (;-)' mögen die Ableitungen der Mengen (a) und (;-) bezeichnen. Die 

 möglicherweise in diesen enthaltenen Punkte sind Häufungsstellen für Pole und 

 folglich wesentlich singulare Stellen für unsere Integrale. Die innerhalb /' liegenden 

 singulären Stellen für das durch eine Reihe von der Form (4) definierte Funda- 

 mentalsystem von Integralen sind also : 



1) Die Punkte in den Mengen (/?), («)' und (;-)', die wesentlich singulare Punkte 

 oder Pole für die Integrale sind. 



2) Die Punkte in den Mengen («) — («)' und (r) — (r)'> die alle Pole sind. Zu den 

 singulären Punkten ist noch der Punkt x == oo zu rechnen, der, wenn die Inte- 

 grale sich nicht auf rationale Funktionen reduzieren, ein wesentlich singulärer 

 Punkt für diese ist. 



Sind z. B. die Koeffizienten in der Differenzengleichung ganze Transcendenten, 

 so finden sich also keine andere wesentlich singulare Stelle für die Integrale als 

 der Punkt oo und die möglicherweise vorkommenden Häufungsstellen für die Pole 



1,2,3,. 



""'^ r'-^' (s^.0,1,2,...)' 



