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Sind die Koeffizienten in der Differenzengleichung speziell ratio- 

 nale Funktionen, so kann man ein Fnndamentalsystem von Integralen 

 finden, welche ganze Transcenden ten des Genre 1 oder des Genre sind. 

 Man braucht nämlich nur die hier bestimmten meromorphen Integrale mit einer 

 passend gewählten periodischen Funktion von x zu multiplizieren. 



§ 2. Um die Natur der Singularität im Punkte oo untersuchen zu können, 

 muss man speziellere Voraussetzungen über die Koeffizienten der DifFerenzen- 

 gleichung machen. Schreiben wir diese in der Form 



P{u(x)) = y^x{x-l) ...jx- i + l)piix) J'i^ujx) = 0, (6) 



i = 



wo 



«(a-+i«.)-(;)„(x + (f-l)o.) + ... + (-iy«(x) 

 J„«(-r) = ~, , 



und nehmen wir zunächst an, dass die Koeffizienten pi(x) Funktionen sind, die 

 für 9{(a)>// dargestellt werden können durch konvergente Fakultätenreihen von 

 der Form 



s = PC 



MX) ^ «-,o+2'(.+ D(x + 2)...(x + .) (' = 0,1,2,...,.-!), (7) 



W'ährend wir annehmen, dass pk{x) = 1 ist. Wir nennen (6) die Iste Nornialform 

 der Differenzengleichung. 



Man kann nun die Existenz eines Integrales der Form : 



u{x) = 



^' (^+1) r , ffl I 92 , 3:< ! ](0) 



r(x-p + i)\^''^ x—p+l "^ {x—p+l){x—p+2) "^ {x—p+l){x-p-]-2){x--p-\-3) ^ ■•■/ ^ ' 



zeigen. Setzt man nämlich statt uix) in (6) -,^-- — r: ein, so ergiebt sich 



/ (x — p-\-l) 



Setzt man in f{x,p) die Reihen (7) ein, so findet man nach einer Transforma- 

 tion eine Fakultätenreiheentwicklung der F'orm 



s = op 



Um die Koeffizienten ^i , ff,» S's > • ^-u bestimmen, setzen wir die Reihen (8) in 

 (6) ein und finden : 



