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ii{x) befriedigt also die DilTerenzengleiciiung formeli, wenn die folgenden 

 Gleichungen erfüllt sind: 



gJAp) - o 



ffiA,(/>-i) + »o/"i(/') = o 



3v Al ir 



.9v-tA(/>-v+l) + 



-ihfÅp) =0. 



(10) 



Wir nehmen an, dass g^z^ O ist; ^ muss dann als Wurzel der „determinie- 

 renden Gleichung" ,^^ 



fM =^^a,-,o/>{/>-l)...(/>-H-l) = (11) 



bestimmt werden. 



Sie ist von Ar-ten Grade und giebt uns k Werte von p , die wir in der Weise 

 in Gruppen teilen, dass alle diejenigen, deren Differenzen ganze Zahlen sind, zu 

 derselben Gruppe gezählt werden. Wenn p eine solche Wurzel ist, dass keine der 

 anderen Wurzeln von der Form p —n ist, — wo n eine ganze positive Zahl ist —, 

 so bestimmen die Rekursionsformeln (10) eindeutig die Koeffizienten gi,g,,g3, ... 

 als Multiplen des wilkürlich zu wählenden g^. Um die Konvergenz der Reihe (8) 

 nachzuweisen, kann man eine Majorantenreihe der gleichen Form bestimmen, wo 

 aber die Koeffizienten g,_, durch Zahlen ersetzt sind, die positiv sind und so beschalTen, 

 dass die Summe von den n ersten grösser ist als der Modulus der Summe der n 

 ersten Koeffizienten g,, für alle Werte von n. Diese Reihe befriedigt eine Majorant- 

 Differenzengleichung der Form : 



M 



1 = K 



y^ai(x^l)x. ..(x + i — 2) Jijt;(x) = 



i=0 



^^{x + l)x . . . (x + z-2) Jl^v(x) + r^ 



wo die Zahlen o, M, y, K und k von x unabhängige Konstanten sind; diese Diffe- 

 renzengleichung hat eine so einfache Form, dass man leicht zeigen kann, dass die 

 Majorantenreihe konvergent ist für 9f}(a;)>^ — \k\ man kann zugleich zeigen, dass 

 die Reihe (8) gleichmässig konvergent ist in p. Es ist dann erlaubt diese Reihe 

 gliedweise eine willkürliche Anzahl Male mit Rücksicht auf p zu differenzieren. 

 Man zeigt hierdurch die Existenz eines Fundamentalsystems von Integralen der 

 Diiïerenzengkichung (6j, die alle die Form haben: 



