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wo ^(,(x), . . ., <^n(^') Fakultätenreiheentwicklungen sind, die konvergent sind für 

 9î(x) > als eine gewisse Zahl c > ;i. Zu jeder Wurzel in dieser determinierenden 

 Gleichung gehört eine Anzahl Integrale, die mit der Multiplizilät der Wurzel gleich 

 sind. Wir nennen diese Integrale, die bis auf einen arbiträren konstanten Faktor 

 bestimmt sind, das Iste kanonische Fundamentalsysteni. Die Entwicklungen (12) 

 zeigen, dass die Integrale analytische Funktionen von x sind, die für ^H(x) > c 

 regulär sind. Wenn x in einer solchen Weise gegen Unendlich wächst, dass es 

 beständig innerhalb des Konvergenzgebietes bleibt, so konvergieren die Fakultäten- 

 reihen gegen ihre konstanten Glieder, und Us(.t) verhält sich asymptotisch wie: 



iis{x) ~ x-^sI/Co + Ati logæ + /f., log2a;+...-f-/c„log"æ}, 9î(.r)>c, (13) 



wo ka,k^, . . .,kn Konstanten bezeichnen, die nicht alle Null sind. 



Die Entwicklungen (12) definieren nur die kanonischen Integrale für 9}(x) > c; 

 es ist aber leicht, diese analytisch fortzusetzen. Schreibt man nämlich die Diffe- 

 renzengleichung (6) in der Form 



(x+l)(x + 2)...(x + Ar)u(x) = Q,{x)a{x+\)+...+Qu{x)u{x + k), (14) 

 so ist für 9J(æ) > c— 1 die rechte Seite durch die Entwicklungen (12) definiert. 

 Schreibt man dann x — \ statt x in (14), so erhält man ii{x) für 9i(a;) > c— 2 

 definiert, u. s. w. Auf diese Weise kann man ii{x) nach und nach analytisch 

 fortsetzen, indem man dessen Gebiet jedes Mal mit einem Streifen der Breite 1 

 vermehrt, bis man eine wesentliche singulare Linie für einen der Koeffizienten 

 erreicht. Nimmt man dagegen an, dass keiner der Koeffizienten pi{x) solche singu- 

 lären Linien besitzt, und bezeichnet man ihre singulären Stellen, die in unendlicher 

 Anzahl vorkommen können, mit ß^, ß^, ß^, . . ., so sieht man, dass die Integrale 

 in unsrem Fundamentalsystem analytische Funktionen sind, die in 

 jedem endlichen Gebiete regulär sind, ausser in den Punkten — 1, — 2, 

 — 3, ..., die Pole sind, und in den Punkten 



/?_• /s = l, 2, 3, ... \ 



^* ' 1/ =/c, /c + l,/c + 2,.../' 

 die Pole oder wesentlich singulare Punkte sind. Die Differenzengleichung 

 (14) zeigt leicht die Natur der Singularität in diesen Punkten. Man könnte sagen, 

 dass die kanonischen Integrale innerhalb eines jeden endlichen Gebiets zu dem- 

 selben Rationalitätsgebiet wie die Koeffizienten gehören. Dagegen ist die Singula- 

 rität der Integrale im Unendlichen von einer wesentlich anderen Natur als die der 

 Koeffizienten. Um sie genauer untersuchen zu können, wollen wir nun für die 

 Koeffizienten pi{x) in (6) die speziellere Voraussetzung' machen, dass sie regulär 

 sind in der Umgebung des Punktes oo , d. h. dass sie durch Potenzreihen von ( J 



' Im allgemeinen ist Unendlich niiralich eine wesentlich singulare Stelle für p^(x). 



