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dargestellt weiden können, die für genügend grosse Werte von x\ konvergent sind. 

 Die Differenzengleichung kann nämlich in dem Falle zugleich auf die Form 

 gebracht werden : 



i = k 



^(.T+ i) (x+i - 1) . . . {X+I)qi(x) J\ , II (X) == , (15) 



1 = 



die wir als 2. Normalform bezeichnen wollen. Die Koeffizienten (ji(x) sind hier 

 Fakultätenreihcn von der Form : 



.^m^ X(X- 



h 



s+l 



(16) 



:(x — l) . . . (x — s) ' 



die alle für ^M{x) kleiner als eine gewisse Zahl «' konvergent sind. Es mögen die 

 />s dieselben Grössen wie oben bezeichnen; man kann dann die Existenz eines 

 Fundamentalsystems von Integralen U^ix), Uo{x), ..., Uk{-r) zeigen, das von der 

 Form ist : 



WO </'i(x) Fakultätenreihen sind, die für 9î(a;) kleiner als eine gewisse Zahl c' < u' 

 konvergent sind. Wir nennen diese Integrale das 2. kanonische Fundamentalsystem. 

 Die Entwickelungen (17) in Verbindung mit der Differenzengleichung (14) zeigen, 

 dass diese Integrale analytische Funktionen von x sind, die regulär sind ausser in 

 den Punkten: 



".+'■ (::^;î:^::;;). 



welche Pole oder wesentlich singulare Punkte sind, und in einer gewissen Anzahl 

 Punkten 



, . /s = l,2,3,...\ 



^^+' (;=o,i,2,...)' 



die Pole der Integrale sind; ri > ?'2 > /'3 > • •• sind hier die Nullpunkte für 



i = k 



X 



x{x— 1) ... {x—i-\-l)pi{x). 



Zwischen den beiden kanonischen Fundamentalsystemen existieren lineare 

 Gleichungen, deren Koeffizienten periodische Funktionen von x sind. Wählt man 

 die in den Integralen vorkommenden arbiträren Konstanten in passender Weise, 

 so kann man zeigen, dass die periodischen Funktionen so beschaffen sind, dass 

 Us{x) durch die konvergente Reihenentwickelung Us{x) asymptotisch' dargestellt 

 wird für ;r — £>Arga;>^ und für — |^ > Argx > — s + s, wo £ eine beliebig 



' Wir zeichnen einen Kreis C mit Null als Zentrum und einem so grossen Radius, dass alle sin- 

 gulare Punkte für die Koeffizienten in der Differenzengleichung innerhalb dieses Kreises liegen: indem 

 wir von einem willkürlichen Punkte innerhalb der Konvergenzhalbebene ausgehen, lassen wir x gegen 

 00 in einer solchen Weise wachsen, dass es beständig ausserhalb des Kreises C bleibt und ausserhalb 

 eines Winkelraumes — mit der Öffnung 2£ - welcher die Achse der negativen Zahlen umschliesst. 



1). K. I). VicIeiisU. Selsk. Skr.. 7. K;i-kke, naturvUlensk. ug iimtlicni Al'il. VI. 8. 41 



