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kleine positive Zahl ist. Speziell wird Us{x) durch den Ausdruck (13) für 

 77— £>Arg.T> — ;r + £ asymptotisch dargestellt. 



§ 3. Die im § 2 gegebenen Sätze lassen sich umkehren. Jede lineare homo- 

 gene Differenzengleichung der fc-ten Ordnung, die ein Fundamentalsystem von 

 Integralen der Form (12) hat, lässt sich auf die P'orm (6) bringen, wo die Koeffi- 

 z.ienten pi{x) durch konvergente Fakultätenreihencntwickelungen der Form (7) 

 dargestellt werden können. Um dies zu zeigen, setzen wir die Reihen (12) in die 

 Differenzengleichung, in der Determinantform geschrieben, ein: 



u(x), xJ--iu(x), . . ., x(x —l) . . . (x— k-\l)j''-iii{x) 

 iijix), ;rJ_]H,(æ), ...,x{x~l) . . . (.r — /f -pl)j'',(;|(.r) 



ii;,.(.r), xJ-iiik(x), ...,x(x—l) . . . (x — k-\-l)j'LiUi;{x) 



Diese Determinante kann in der Weise reduziert werden, dass alle Elemente 

 in den k letzten Zeilen Fakultätenreihenentwickelungen der Form (7) werden. 

 Man kann dann zeigen, dass das Produkt zweier Fakultätenreihen, die für 9{(æ) >/^ 

 konvergent sind, in eine Fakultätenreihe entwickelt werden kann, welche für 

 9î(a;)>//, 9i(.T)>0 konvergent ist. Alle Unterdeterminanten der Elemente der 

 ersten Zeile können also durch konvergente Fakultätenreihen dargestellt werden, 

 und es ist nicht schwierig zu zeigen, dass das konstante Glied in dem Koeffizienten 

 von x{x — 1) . . . (æ — k-\-l)jliii{x) von Null verschieden ist; damit ist aber auch 

 die Behauptung bewiesen. 



Die Differenzengleichung (6) ist also der allgemeinste Typus 

 der linearen, homogenen Differenzengleichungen , die ein Funda- 

 mentalsystem von Integralen von der Form (12) haben. Diese Diffe- 

 renzengleichungen sind zugleich aus dem Grunde bemerkenswert, weil sie als 

 Grenzfall ' die allgemeinste Klasse der linearen Differentialgleichungen enthalten, 

 für welche der Punkt x = x eine singulare Stelle der Bestimmtheit ist. 



§ 4. Wenn in der DitTerenzengleichung (6) 



, . i 



P"^^' x{x~l)...{x — g+l)' 



so ist die Anzahl der Wurzeln in der determinierenden Gleichung < k. Durch 

 dasselbe Verfahren wie in § 2 kann man doch durch Hilfe der Rekursionsformcln 

 (10), und jeder Wurzel in der determinierenden Gleichung entsprechend, rein for- 

 mell eine Entwickelung der Form (8) bilden. Diese giebt aber im allgemeinen kein 

 Integral, indem die Fakultätenreihe divergent ist. Um die Bedeutung dieser diver- 

 genten Reihen zu untersuchen, wollen wir eine allgemeinere Klasse von Ditferenzen- 



' Wir nehmen also an, dass man dem konstanten Intervall der DitTerenzengleichung einen will- 

 kürlichen Wert giebt, statt es wie hier gleich 1 zu setzen, und dass man es dann gegen Null konver- 

 gieren liisst. Die Differenzengleichung geht dann in eine Differentialgleichung über, und unsere Integrale 

 werden auf die von I-'uchs untersuchten kanonische Integrale reduziert. 



