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gleicluiiigi'ii bfliachleii : 



I 



= ;>■ 



Pi[x)ii(x^i) = O, (19) 



\V() die Koerii/itnlun P'akiillätenreihen der Form 



,../l ,.(0 r'-') 



p.ir\ = f'''4- '—4- - I ^ - 4- (20) 



^.l-v) ^ -t-.x^l+(a,.+ l)(x- + 2) ^(x-+l)(x + 2)(æ + 3)^ ^""^ 



sind, die alle in einer gewissen Halbebene konvergent sind. Bilden wir „die cha- 

 rakteristische Gleichung" : 



cfr^- + ci,i>z'--i + ... + c;'^) = 0, 

 und (ij sei eine einfache Wurzel in dieser Gleichung. Wir setzen dann: 



II {x) = af • w(x) 

 und bilden eine DitTerenzengleichung in w{x), die wir in der Form (6) schreiben. 

 Die determinierende Gleichung für diese ist Isten Grades. Man findet folglich eine 

 Entwickelung der Form : 



wo (f{x) eine im allgemeinen divergente Fakultätenreihe ist. Bei sukzessiven 

 Näherungen und unter Benutzung von Entwickelungen gleicher Art wie die in § 1 

 erwähnten, kann man nun eine Reihe bilden, die für genügend grosse positive 

 Werte von '3i{x) konvergent ist, und die die DitTerenzengleichung befriedigt; diese 

 Reihe, die selbst sehr komplizierter Form ist, wird für 



;, £ > Arg.r > — 2 +^ 



durch die Reihe (21) asymptotisch dargestellt. 



Wenn üj eine n-dobbelte Wurzel in der charakteristischen Gleichung ist, so 

 können zwei wesentlich verschiedene Fälle eintreten: 

 1) Qj ist zugleich eine (n -/))-doppelte Wurzel in der Gleichung 



X' 



(s) U- 







für p = 1, 2, . .., n— 1. 

 2) Diese Bedingungen sind nicht erfüllt. 



Im letzteren Falle ist die determinierende Gleichung der Differenzengleichung 

 in w{x) gleich einer Konstanten, es existiert keine asymptotische Entwickelung der 

 Form (21). 



Im ersteren Falle dagegen ist die determinierende Gleichung vom n-ten Grade 

 {n < k], und man findet folglich ;i Entwickelungen der Form: 



Us(x) r^ aføsix), (s =l,2,...,n), (22) 



die /i linear unabhängige Integrale asymptotisch darstellen. 



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