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'l>s{.v) ist hier eine Entwickelung der P'orm (12), nur sind die darin vorkom- 

 menden F'akultätenreihen divergent. 



Wenn einige der Wurzeln in der charakleristischen Gleichung Null oder 

 unendlich gross sind, so muss man, um ein Fundamentalsystem von Integralen zii 

 erhalten, noch eine Reihe Substitutionen von der Form 



u(x) = r"'-{x)ii^"'-\x) 



ausführen und die Zahlen i/r so bestimmen, dass die Diflerenzengleichung in 

 u'^r^x) eine charakteristische Gleichung mit mindestens einer Wurzel hat, die 

 endlich und von Null verschieden ist. 



Man kann, wie ich in einer früheren Arbeit' näher nachgewiesen habe, in 

 eindeutiger Weise eine Reihe Zahlen n^,n„, . . . , fi,„ bestimmen, die so beschaffen 

 sind, dass die gesamte Anzahl Wurzeln in den entsprechenden charakteristischen 

 Gleichungen, die endlich und von Null verschieden sind, gerade der Ordnung der 

 DitYerenzengleichung gleich sind. Wenn jedes Mal beim Vorkommen einer multiplen 

 Wurzel in einer der charakteristischen Gleichungen die entsprechenden unter 1) 

 genannten Bedingungen erfüllt sind, so existiert ein Fundamentalsystem von Inte- 

 gralen, die innerhalb des Winkelraumes !^ — e > Arg o; > — y + £ durch Entwick- 

 elungen asymptotisch dargestellt werden können, die alle von der Form: 



r'''~{x)aføs(x) (23) 



sind; Ausnahmefälle treten hier auf, wenn einige der Zahlen /j.r nicht ganze Zahlen 

 sind, indem die Koeffizienten in den entsprechenden Differenzengleichungen in 

 u'/"'(a;) dann nicht mehr so beschaffen sind, dass sie in Fakulfätenreihen der 

 Form (20) entwickelt werden können. Es sei z. B. /ir = q-P-, wo p und q ganze 

 Zahlen sind. Wir setzen dann 



x = pz und u(x) = V {z) 

 und leiten aus der gegebenen Differenzengleichung eine Differenzengleichung in 

 v{z) ab. Man zeigt hierdurch die Existenz einer Anzahl Integrale, die durch Ent- 

 wickelungen von der Form : 



asymptotisch dargestellt werden können. Die Reihen (23) enthalten als Grenzfall 

 die asymptotischen Entwickelungen für die normalen Integrale einer linearen 

 Differentialgleichung, während die Reihen (24) den subnormalen Integralen der 

 Differentialgleichungen entsprechen. 



§ 5. Die Beweise für die in den §§ 2—4 dargelegten Resultate verlangen, wie 

 es aus den gegebenen Andeutungen hervorgeht, eine Reihe etwas umständlicher 

 Erläuterungen. Aber es giebt einen Fall, wo man in viel leichterer Weise zu dem- 

 selben Resultat gelangen kann, nämlich wenn die Koeffizienten der Differenzen- 



' Acta mathematica Bd. 34 8.16, 1911. 



