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gleicliung rationale Funktionen sind. Man kann in soleheni Falle vermittelst 

 einer Integrallranslormation die Lösung der DifTerenzengleichung entweder auf die 

 Lösung einer DifTerenlialgleichung oder auT die Lösung einer DifTerenzengleiclumg 

 von einfacherem Typus als der vorgelegten reduzieren. 



Nehmen wir an, dass die Koeffizienten in der Dillerenzengleichung (1) auf 

 die Form : 



Pi(x) = Ci,o + Ci,tix+i) + Ci,2(xi-i)(x-hi^-l)-^... + Ci,p{x+i)(x+i-^l)...(x^i^p-l) 



gebracht sind, wo die C,-, j von x unabhängige Konstanten sind, und wo voraus- 

 gesetzt wird, dass C/,.,pr^O und Co.p^^O. Setzt man 



u(x) - it-^'^v(t)dt (25) 



und bestimmt v(t) als Integral der Differentialgleichung 



^CMm-o'-^j//' = ü, (26) 



1 = 



wo 



s = k 



0,(0 = ^Cs.it^ 



s = 



so befriedigt u(x) die Differenzengleichung, vorausgesetzt dass der Integrationsweg 

 in passender Weise gewählt ist. Die singulären Stellen für die Differenzengleichung 

 (26) sind ausser und oo die Wurzeln in der charakteristischen Gleichung Qp{t) = 0. 

 Mögen diese a^,ao, --^ai; sein, und stellen wir uns sie so geordnet vor, dass, wenn 

 man a« = p e^^^ setzt, dann 



< Ci < Ca ^ ■ • . < (Ta- < 2;r 

 ist. 



Wenn a, eine n-doppelte Wurzel in der charakteristischen Gleichung ist, 

 so nehmen wir vorläufig an, dass es zugleich eine (n— m)- doppelte Wurzel in 

 Qp-m{t) == ^ (m ^ 1, 2, . . ., 71 — 1) ist. Die singulären Stellen sind dann alle Stellen 

 der Bestimmtheit. In der Umgebung von t = ay existieren n kanonische Integrale 

 von der Form 



i^sj = ^ l[ \(aj-t)''^J,ps.j{t~aj)] (s = 1, 2, . . ., /,) , (27) 



wo f(t — a) eine in der Umgebung von /=a reguläre Funktion ist. Dies ist derart 

 zu verstehen, dass die determinierende Gleichung für den Punkt aj p Wurzeln 

 ß\j, ■ ■ -, ßpj hat, aber nur den n ersten davon entsprechen nicht-reguläre Integrale. 

 Wenn ßs,j, ßs+i,j, ■ ■ -, ßs+m,j eine Wurzelgruppe bildet, so soll man in Vsj, Vs+i,/, 

 ...,Us+„,j r die Werte 0, 1, ...,ni geben. Die gesamte Anzahl nicht-regulärer Inte- 

 grale der Form (27) ist also gleich k (der Ordnung der Ditïerenzengleichung). 

 In der Umgebung von t = existieren p kanonische Integrale der P'orm 



v,,o=^''A('"'Mt)], (28) 



OUs 



