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Bei gliedweisor Integration (indot man eino Rnlwiclvelung der Form: 



Uj{x) ^ af/'six), (33) 



wo f>'s{x) die durch (17) angegebene Bedeutung hat, doch sind die Fakultätcnreihen 

 im allgemeinen divergent: diese Entwickeiung stellt Uj{x) asymptotisch innerhalb 

 des Winkeliaunies dar : 



'3n . n , 

 £ > Ars x > + £ 



Die Winkelräume, innerhalb welcher die asymptotischen Werte der Integrale 

 sich so unmittelbar bestimmen lassen, ergänzen einander. Um die Integrale in der 

 ganzen Umgebung von x = oo zu untersuchen, liegt es deshalb nahe, Relationen 

 zwischen den beiden kanonischen Fundamentalsystemen zu suchen. Diese Rela- 

 tionen haben eine sehr einfache Form. Um sie zu bestimmen, kann man in Uj(x) 

 den Inlegrationsweg /, ändern, doch ohne irgend einen singulären Punkt zu über- 

 schreiten, bis er zuletzt aus einer Reihe von Schleifen L^,...,L\i besteht und einem 

 Kreis mit Null als Zentrum, dessen Radius wir über jede Grenze hinaus wachsen 

 lassen. Es möge aj eine n -doppelte Wurzel in der charakteristischen Gleichung 

 sein und 



ay-r+l = O-i-r+1 = . . . = üj^r^n ■ 



Man findet dann folgende Gleichung: 



«,(.r) = i7y(.T) +^;r,>(.T) VAX) + eS'^^^.T,, U.r) U,(.r) (./ = 1, 2, . . ., k\ (34) 

 wo 



^jAx) = ^ ( e2l?7rx-4) _ 1 + ^e2^,(,.-C) _!)¥+••■ + Ç^irA^^-a,) _^i)m, ] ■ (35) 



ms bezeichnet hier die Multiplizität der Wurzel «j, und die von x unab- 

 hängigen Konstanten A, B, . . ., M können bestimmt werden, wenn wir die Gruppe 

 für die DitTerentialgleichung (2(5) als bekannt voraussetzen. Diese Relationen bilden 

 einen Kernpunkt in der Theorie. Mit den asymptotischen Gleichheiten (32) und (33) 

 verglichen zeigen sie, wie sich jedes der kanonischen Integrale verhält, wenn x 

 gegen oo längs einer willkürlichen Linie wächst. Die Umgegend des Punktes oo 

 wird in eine Reihe Winkelräume geteilt, von welchen der eine eine Öffnung hat, 

 die > „' ist; innerhalb jedes dieser Winkelräume wird U/(.t) asymptotisch durch 

 eine Entwicklung der Formen (32) oder (33) dargestellt, aber dasselbe Integral wird 

 innerhalb verschiedener Winkelräume durch verschiedene asymptotische Entwick- 

 lungen dargestellt. 



Die Bestimmung der Konstanten A, B, . . ., M durch Deformation des Integrations- 

 weges in dem Laplace'schcn Integral (30) ist eine ziemlich umständliche Operation. 

 Man kann aber — jedenfalls für eine speziellere Klasse von Gleichungen — in einer 

 direkteren Weise zu den Gleichungen (34) gelangen. 



