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Betrachten wir eine Gleichung der Form 



0,(x)jijH(.T) = 0, (36) 



t — K 



I 



WO die Koeffizienten Qi(x) Polynomien sind, deren Grad mit der Merkzahl abnimmt, 

 d.h. dass, wenn Qh{x) p-ten Grades ist (p"^ k), so ist Q^^ri^) höchstens {p — r)-ten 

 Grades. Die singulären Stellen O;, Oo, .., a/^ fallen hier alle im Punkt 1 zusammen, 

 der notwendigerweise eine singulare Stelle der Bestimmtheit für die Differential- 

 gleichung (26) ist. Die in den Entwickelungen für die kanonischen Integrale vor- 

 kommenden Fakultätenreihen werden deshalb alle konvergent; hieraus folgt aber, 

 dass die asymptotischen Gleichheiten (32) und (33) auch für s = gelten. Diese 

 Eigenschaft kann zur Bestimmung der Zusammenhangsformeln benutzt werden. Da 

 u 1 (æ), . . ., ii/f (o.-) ein Fundamentalsystem bilden, so müssen k Relationen der Form: 



l-h{x) =^^i,v(a;)".(-v) {j - 1, 2, . . ., k) (37) 



existieren, wo 



;r;>(.r) = ;r,/,,(.T+ 1). 



Schreibt man in diesen Gleichungen für x sukzessive x -\-\, x + 2, . . .,x-\-k—\, so 

 erhält man ein System von A--' Gleichungen, das zur Bestimmung der periodischen 

 Funktionen dienen kann. 



Es möge Dj, v(x) die Determinante bezeichnen, die aus der Determinante (2) 

 abgeleitet wird, wenn wir in der ^-ten Spalte ii^ durch (/, ersetzen. 



Man hat dann 



^ _ Dj,,{x) 



■/> D(x) ■ 



Man kann nun zeigen, dass die Determinante D{x) gleich 



(38) 



n(^\ - K A^? — «i) r{x -a^)... r{x — ap) , - 



ist, wo K eine von .r unabhängige von Null verschiedene Konstante bezeichnet. 

 Hieraus folgt aber, dass ;r,>(æ) eine meromorphe Funktion von a-, mit Polen in 

 den Punkten 



..., rs-2, rs-i, Ts, Ts + i, rs + 2, ... (.s = i, 2, ...,p) 



ist. Der Zähler hat ja nämlich Pole in den Punkten ;,, — k-\-n-\-l und «s — «, 

 und der Nenner hat infolge (39) Pole derselben Ordnung wie der Zähler in den 

 Punkten a« — n und Nullpunkte in den Punkten ;s — k — n; n bezeichnet hier eine 

 ganze, nicht negative Zahl. 



Lässt man x gegen oo wachsen, indem es beständig innerhalb eines Perioden- 

 streifens bleibt, so folgt aus dem Determinantenausdruck (38) in Verbindung mit 

 den für solche Werte von x bekannten asymptotischen Ausdrücken für die kano- 

 nischen Integrale, dass 



