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lim ,T/, /(.i) = Konst. 

 lim ;ry.i,(x) = O v-^.j. 



X = 00 "^ 



Ein hekamiler Sal/, nus der Theorie der periodischen Fiinklionen sagl nun 

 aber, dass: 



Eine jede eindeutige, überall meromorphe, periodische Funktion von x mil 

 dem Periodizilätsmodul 4 1, die, wenn x gegen oo innerhalb eines Periodenslreifens 

 wächst, entweder gegen 0, oo oder eine Konstante konvergiert, notwendigerweise 

 eine rationale Funktion von gS^nx sejn muss. 



Hieraus und aus dem oben gesagten folgt dann, dass 



X'/ ^J'S I 5^i i_ J "ii±l W40^ 



nj,i,(x) = sj,:+^ y e2-'(*-^<i) — 1 ^ (e2T'(a:-rs)_i)2T^ •■• T (e2f'(^-n)_i)"'s/'^ ^ 



s = l 



WO nis die Multiplizitäl des Poles js bezeichnet und 



_ I 1 •'=7 



Es erübrigt noch, die Konstanten A, B, . . , M zu bestimmen. Diese stehen in 

 einer einfachen Beziehung zu den Multiplikatoren der Differenzengleichung. 

 Denken wir uns diese in der Form geschrieben: 



P(u{x)) = u{x) + P,(x)u(x-\) + . . . + Pk(x)u{x—k) = 0. 

 PiNCHERLE^ hat gezeigt, dass man zu dieser Gleichung k linear unabhängige 

 Multiplikatoren fi^ix), «.(æ), ..., !Jk{x) finden kann, d. h. Funktionen, die so be- 

 schaffen sind, dass 



f2i(x)-P{u{x)) = J_^ria(x)), 



wo l'diix)) ein linearer homogener Differenzenausdruck der (/c — l)-ten Ordnung ist. 

 Nehmen wir der Einfachheit wegen an, dass alle Pole für Uj{x) einfach sind, 

 und bezeichnen wir mit 2niRjs das Residuum für Uj(x) in fs', nian hat dann 



^ B}:i = ... = Mj:i 



und zeigt leicht, dass 



4-1 = Rj.s-MtsI 

 Die in den Zusam nienhangsformeln zwischen den beiden kanoni- 

 schen Fundamentalsyslemen vorkommenden Konstanten sind also die 

 Pole ;-j,..., ;-p, die Residuen in diesen und die Werte der Multiplika- 

 toren der Differenzengleichung in den Punkten y-j. 



§ 6. Wir haben bisher vorausgesetzt, dass die singulären Stellen für die 

 Differentialgleichung (26) alle Stellen der Bestimmtheit sind. Wenn aber aj eine 

 singulare Stelle der Unbestimmtheit ist, so existieren für die aj entsprechenden 



» S. PiNCHF.RLE e U. Amaldi: Le Operazioni distributive e le loro applicazioni all' Analisi. Bologna 

 1901. S. 242 — 246. Siehe auch Wallenberg: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft; 

 26. Februar 1908. 



D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., 7. Brekke. nalurvidensk. og mathem. Afd. VI. 8. 



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