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Integrale keine asymptotischen Enwiciveliingeii der ol)cn unlersuclilen Art. Man 

 kann doch von dem Wachsen dieser Integrale eine ungefähre Vorstellung erhalten. 

 Setzen wir x = ff-j-ir; man kann dann eine positive Zahl N so bestimmen, dass 

 für (7 > N die Ungleichheit 



e-V<^ < |«j(x-)a/-^| < e'?" 



erfüllt ist, wie klein wir auch die positive Zahl rj wählen. 



Es seien die singulären Punkte Stellen der Bestimmtheit oder 

 nicht, so kann man ein Fun da m en talsystem von Integralen bestim- 

 men, die meromorphe Funktionen von x = re'" sind, und jedem dieser 

 Integrale entspricht eine Funktion Å(v} derart beschaffen, dass die 

 Ungleichheiten 



^im-sir ^ |z;,(.T)| < ef^'"> + ^)'- 



für genügend grosse Werte von r erfüllt sind, wie klein wir auch die 

 positive Zahl c wählen. 



Å(v) ist eine reelle, kontinuierliche;, periodische Funktion von v mit der 

 Periode 2;r; sie kann von einer Reihe y'on Sinusbögen zusammengesetzt werden 

 und ist positiv in einem Intervall von der Länge / wo 2n^>/>7r. 



§ 7. Die Laplace'sche Transformation (25) ist nicht die einzige Integraltrans- 

 forniation, die mit Vorteil zur Lösung von linearen Differenzengleichungen ange- 

 wendet werden kann. Betrachten wir die Dillerenzengleichung: 



-K(x)J'<-Ui(x)-^^ ' \~^ ^ J R(x)Jj-hi{x)- . ..-{J 'l'^~^) J^^-'R{x)u(x) = 



wo c ein von .v unabhängiger Parameter ist, während Q{x) ein Polynomium vom 

 A--ten Grade ist und Ii{x) ein Polynomium, dessen Grad < /<■ ist, und wo wir 



(?) 



ç(é-i)...(f-/) 



1-2.. Vi 



gesetzt haben. Diese Gleichung ist mit einer von Pochhammek ' untersuchten 

 Differentialgleichung analog, die nachher von Jokdan" eine sehr elegante Behand- 

 lung erhalten hat. 



Setzen wir i (* /v/ ,. ':\ 



"(-•) = 2-i.|ni^i+r('^'''' ^''^ 



und versuchen wir v{t) und den Integrationsweg so zu bestimmen, dass a(.T) die 

 DilTerenzengleichung (41) befriedigt. Man sieht leicht, dass 



» Crelle's Journal Bd. 71 S. 317, 1870. 



2 Cours d'Analyse Bd. Ill S. 240, Paris 1896. 



