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Einer solchen Gruppe enlsprechend bestimmen wir eine Reihe Funklionen 

 Vs(l} durch folgende Gleichungen: 



Vs+i{t) ^ (I>(t)- ■ ^J", „••■ • r-1 Ä (!=0, l,2,.../j). (47) 



'+'^' sm^z-d^+T-s— f) sin;r(f+rs+i — /) 



• /(.!■) möge den imaginären Teil von x bezeichnen, und bestimmen wir zwei 



Zahlen Og und fc« so, dass 



I{bs) > /(rs + c) > I{as). 



Man kann dann ein Fundamentalsystem von Integralen der Ditlerenzen- 



gleichungen (41) durch die Gleichungen 



"■W - iK'u^^'"^n<l>-^Jß:^^-'.m^> .» = .,2....,« (48, 



bestimmen. 



Diese Integrale sind konvergent, wenn 



9î(ri+r2 + --- + rA — «1— «2---- — ^A-l-(/<^— i)f) < k 



und vorausgesetzt, dass x-^ç nicht auT dem Integrationsweg liegt. 



Es möge Ys+i die (i+l)-te Wurzel innerhalb einer Wurzelgruppe sein (jede 

 Wurzel eine Anzahl Male mitgerechnet, die der Multiplizität der Wurzel gleich ist). 

 Man kann dann zeigen, dass das dem yg+i entsprechende Integral Ug+ii-v) eine 

 meromorphe Funktion von x ist, die Pole von der (j-fl)-ten Ordnung in den 

 Punkten ^s+t, ;-s+, h^) /'s+i+2, ... hat. Jedes dieser Integrale besitzt also, im 

 Gegensatz zu den oben untersuchten kanonischen Integralen, nur eine einzelne 

 Reihe Pole^. 



' In der Litteratur der letzten Jahre giebt es mehrere Arbeiten, lineare Diffcrcnzengleichungen 

 betreffend, die mit Vorstehendem Berührungspunkte haben. Wir müssen uns hier darauf beschränken, 

 diese Arbeiten nur zu erwähnen : 



H. PoiNCARÉ, American Journal of Mathematics, Bd. VII, S. 203—264, 1885. 



É. Picard, Traité d'Analyse, Bd. III, S. 419—424. Paris 1908. 



O. Perron, Crelle's Journal. Bd.l36, S.17 — 37, 1909; Bd. 137, S.6— 64, 1909. Mathematische Annalen, 



Bd. 60, S. 446— 487, 1909. Acta raatheraatica, Bd. 34, S. 109-137, 1911. 

 J. Horn, Mathematische Annalen, Bd. 53, S.117-192, 1900. Crelle's Journal, Bd. 138, S. 159-191, 1910. 

 Galbrun, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, 5 avril 1909; 6 décembre 1909; 24 jan- 

 vier 1910. 

 Ford, Annali di Matematica, Serie 3, Bd. 13, S. 313— 328, 1907. Transactions of the American Mathe- 

 matical Society, Bd. 10, S. 319-336, 1909. 

 G. Wallenberg und A. Guldberg, Theorie der linearen Differenzengleichungen. Leipzig und Berlin 

 1911. 



