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 SEC^AO DE MATHEMATICA. 



INTEGRAES DEFINIDOS. 



Continuado de pag. lOS. 



9. Represenlem i,m,p,n,r, nuraeros inteiros positives; e seja n>m, n>p, n>r: edefiiia-se 

 ja:"'-' dx {l—x") " do raodo seguinte f {m, p)= Lc"-' dx {l — x") " (1) 



Fazendo 1 — a; "=)/", fica ^ ()/i,p)= — /v'^' di/ (1 — y") » =:ly P-'dy(\ — y") " , 



ou, mudando^/ em x, f (m,p)= Ixp-' dx {I — a:") -^, isle e, 



<f {m,p) = , (p>m) ^gj 



Pondo y em vez de x' na equagao (1), e applicando o theoretna (2), acha-se 



r "n-i '--> r' ^ . = 



n if (m,fj) = n,f (p,m) = I x' dr{l — x)' = j x»~ dx (1 — ar)" ~'. ... (3) 



Aos integraes da forma / x "~^ dx (1 — a;)»~ chamou Legendre integraes Enh' 



rianos da primeira especie. 



10. tf {m,p^ 6 um numero menor do que dous. 



E com effeilo a formula (3) do Cal. Int. de Franc. n.° SlDjda 

 9 (m, p) =: ( 1 + — ) ip (m + n,p)=,f (p, m-\-n); e como ^ (p,m + n) pode considerar-se 

 como somma de elemenlos differenciaes, e x e tornado desde x:= o ate x = -\-l segue-se 

 que (p (p,?n+n) e posiliva,e por issooe tambem^(fn,p): oradesenvolvendo (1 — x")' ^"^ serie, 

 e procedendo convenienteraente a integra9ao, vem 



n—m in — m 1 



y ^/t m+p n 2/i im-t- p ii in 3n 3im- p 



■)■■ 



OS lermos, encerrados no colchete dfio uma somma positiva , logo ? (p , m -f n) < - , < 



por conseguinle ? ('" jP) < (- + - ) ;"" 9 ("•)?) <2 (a). 



De donde se ve [La-Croix 3.° V. n." 1083 pag. 411 do Cal. Int. Ed. de,1800] que a 

 pgualdade ^ (1, l) = 2,22d82 ali escripta e inexacta. 



