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*,' 



+ etc. ) 



>(9) 

 '+etc. ^ 



Suppondo xcy pequenas qiianlidades, a ordem dc eada termo scni marcada pela somma 

 dos expoentes de x e y. Sejam as series (9) tacs que a somma dos expoeiites dc * e t/ em 

 cada terrao exceda a unidades a dos expoentes do lermo precedente ; isto e, seja 



a'*+' +P"+" =a" +n»'+a; x"+' +7"+' =x" ; -r" 1 o (10) 



d'onde se deduz como consequencia 



«■"+"' +?■"+"! =.i'=i-i-p,W +ma; x'"+" +i"-^''' =x" +-,'" +mfl (11) 



Se niultiplicarraos em rruz dois termos da 1.° serie (9) pelos coirespondenles da 2.', te- 

 remos cm geral os dois productos 



J^, 5„4-»! ,.," +X'" " y^" +t" " ; _\tn+^ 5-. ^»" " + X" y?" "' +7'" ; 



a ordem do l." e a'"' -r p " r x "+'* F 7"+'" , 011 pela 2.' das equafoes (11) 



a "' -i P "' +X''' +7'"' -Ima, que e a mcsnia ordem do 2." em virtude da 1.' das mesmas 

 pquafoes: d'onde se segue que, para oblermos a ordem dos termos cnnsecutivos do producto 

 das series (9), basta acliar a ordem dos termos que so obleni, multiplicando um termo da 

 1.* pelo correspoDdento da 2.' e pelos outros consecutivos ; de sortc que serao termos con- 

 secutivos d'cste producto os da ordem dos seguintes : 



A" B'' x'^" + ^'"'/" +7" +A'"' i?'"+" /' + ^'"'"" f^-'"^^' 



+ X B X y ^ +etc. 



uaes pelas equacoes (10), sao taes que a ordem de cada um diffcre da do que precede 

 dades, de sorte que producto das duas series gosa da propriedade commum a ambas. 

 producto de trez series simiihantes as series (9) gosa da mesma propriedade, pois que 

 ducto de duas muitipiicado pela 3." esta no caso que acabamos de tractar; c assira 

 iante, seja qualquer que fur numero das series: e mesmo conciuiremos a respeilo 

 da serie quc.resulta da elevacao de qualquer das scries (9) a uma dada potencia, porque 

 esta operacao e um caso particulaT da multiplicacao. 



Applicando cste theorema'aos termos (7) e (8), veremos que, por exemplo, a potencia 



Mol.°semudaemj(3/+p/,) + (p/+P(, + 2)!etc.{ (''^°/(,U + e-o^\'^'^° /,(«< :-.-aj^.(t2) 



Ora, sendo g impar, sen ^j tern a forma scnl''a; = i sen px + A' sen ((1 — 2) x T-etc, 

 e sendo p par tem a forma sen^a; = ^ cos f,x^B' cos (p — 2) j; + etc. ; c cos^a; tanto 

 no caso de fi par como impar tem a forma cos,^x = M cos pa; + 3/' cos (3 — 21 x -{- etc. 

 1." termo de cada uma d'estas series, mostra que em relacao a ellc a serie (12) segue a lei 

 da sua raiz, que e a serie (7), por ser a ordem p/ rP/) egual a somma dos coeflicientes 

 dos angulos nos senos ou cosenos d'esscs termos ; porem os outros termos dos valores de 

 sen ^x e cos ^x sendo de uma ordem superior a que e indicada pelos coeflicientes dos angulos, 

 escusaremos de attender a elles, porque nosso iim c achar a menor ordem dos termos que 

 dependem de urn argumenlo dado; podemos porlnnto concluir que as diversas polencias de 

 «, u', t), t)', :, :', e os productos d'estas potencias scrao compostos de termos que seguem a 

 lei das suas raizes ; isto e, que terao as fornias (7) e (8) : attendendo pois somenle aos ter- 

 mos da ordem indicada pelos coefficientcs dos angulos, termo geral (6) de R tera a forma 

 seguinte : 



T= j [g) + (5 + 2) + etc. | j [if) f (y' + 2) ,- etc. | x j (j") + [f -\ 2) ^r etc. | 



^ |(ff"') + (r + 2) ^ etc. |x -^j(„i + .-.) '^g' [n't 1 .'-„') X lllrj" („ , . ._,; 



X::>"'(n'/ + e'-«')> ""'(«''-"' + •'-') (13) 



Conlinilo. J L. SARMENTO. 



