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oaie g,g',g",g"' sao numeros posilivos ou ncgativos, e intciros, visto que os cocfficicntes 

 dos augulos nos valores de u,u',v,v',z,i', sao lodos intciros ; alera d'isso o coeiBcieale k c 



da lorma A = j (j + 5' + g" + 9'") + (? + </'+ O" + o'" + 2) + etc. j , como se deduz da for- 

 ma do tcrnio (13); islo e, da ordeni g +g' +0" -\-g"', sendo aqui oonsideradas cstas 

 quantidadcs como positivas, visto que em u,u', »,«', z,z', nao ha expoentes negalivos em 



''.<''.'?^?> 'ff ^?' i ^"5 PO'* lizerraos 1 -\-g' -\-g"' = i' ; I — g — g" = i, tcremos 



g + g' + g"-\-9"'=i' — i (17) 



t'Olermo(lG) tornar-se-ha cm r=A ^^" U'n't — int+i\' — ii — gu — g'J — y"a. — g"'a.'\ ... (18) 



assim, sc g, g', g", g'" forem lodos posilivos no argumenlo d'este lermo, sera pela equacao (17) 

 i' — f a ordera do coefficicnlc /r, sc porcra alguma d'eslas quantidades for ncgativa no diclo ar- 

 gumenlo, 9 por exemplo, a equagao (17) dara — g +g' ^ g" + g"'^i' — i; ou 

 g + g' + g" +g"' = '' — i-\--g\ sera pois 'neste caso i' — i-\-ig a ordem do coeflicientc 

 /■ ; isto i', do Icrmo (18). 



A equacao {\'i'\ pode acliar-se de outro modo, notando que valor de R e independcnlc 

 da origem das longitudes; porque lanlo angulo {n'l-\-i') — (nt + i), como os angulos 

 nt + i — u, nt + i — a, n't + t' — «', n't + t' — a' que 'nelle entram pelos valores de 

 u,u',v,v',z,z', sao diffcrencas de angulos tonlados da niesraa origem : sc pois no argumenlo 

 do lermo (18) augmentarmos as longitudes da quantidade 1)1, eslc argumenlo se tornara em 

 i' {n't + ,' + i'} — i in t t- e + 4,) — (/ (« + <J) — ,9' {J + ^)—g" (a + ^)—g"' U' + +), e como 

 elle deve ficar mcsmo qualquer que seja ij, e forcoso que seja nullo coellicienle de ^/ no 

 raesmo argumenlo; sera pois i' — i — g — g' — g" — g'" = 0, ou g ^- g' -\- g" -\-g"' ^i' — i, 

 que c a mesma equacao (17). 



Se considerarmos agora os valores (2), (3), (5) deu, «,i, veremos que coelBciente do 



^"^"/■u lem sempre por factor pelo menos a polencia f ie e, e coefficienle de ^^" fa. lem 



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sempre por factor pelo menos a potencia f de tg-<f; e mesmo acontece nos valores de 



u',v',z': ora os augulos o, u',a, «.' so entram em R pelos valores de u,u', v,v',z,z'; mas 

 no lermo geral (18) argumenlo conlem os angulos g a,g' J,g"a.,g"'a.', logo item por factor 



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producto e^. e's . tg^ '-^. ty^'" -9', sendo estes expoentes lodos positives pela razao acima 



dada ; considerando pois somenle os termos da menor ordera no coefGciente k, isto 6, s6- 



raente a parte k = Ile^ e's' tgs" ^5, <</«'" -9', sendo // indepcndente de e, e',(p,(p'; lermo 



geral (18) tornar-se-ha em 

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T=Hee e's' tgs'' - » tge'" -,' ^^^^ {i'n't—int + i't' — it — go> — g'^' — g"a. — g"'<,.'), que c 



visivelmcnle lermo da menor ordem que depende do argumenlo 



''n't — iji(-t-i't' — «e — ga — g'J — j/'V — g"'(t'; 6 esta ordem e g + g' + g" + g'", ou i' — » 



pela equacao (17). 



De tudo que deixanios diclo se segue que, suppondo reunidos lodos os termos de R que 

 dcpendem do argumenlo i'n't — int, o seno ou coseno d'este argumenlo tera por factor uma 

 serie inlinita cujo 1.° lermo e da ordem i' — i, e os oulros de ordem superior: se pois fizer- 



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mose = /i3; (■' = /i'p, ; <^-i? = /j"3; tg -^'^h'" ^, esle coefficienle tera P"'—' por factor; 



e suppondo i' — i successivaraente cgual a 0,1,2 «, etc., a serie que da o valor de R 



sera da forma jff = A<, -h A, p-|-*j p*-l-. . . -t-A-„ p' -|-A„+, p°+' +etc (19) 



onde k,,k,,h\ . . ./.„, etc., reprcsenlam funcfoes taes, que se nao aniquilam quando p=o; 



para que a serie (10) fosse convergenle, seriaprecisomoslrar que -^--fi icnde para um limite 



n» 



< 1 ; mas para isto seria precise conhecer a forma dos coeflicienles /.„+, e k„ o que nao c 

 facil ; entre tanto e muito ])rovavel que os coefEcientes fr„ + , e k„ scjam pouco differcntes 

 entre si, e por is.-.o a sua relarao pouco dilTereute da unidade ; o que, sendo verdadeiro, 

 daria a serie (19) muito convergenle por ser fi muito pequeno. 



que deixanios diclo pode tnlvez servir de fundamento A demonsiracao rigorosa da con- 

 vergencia da serie que da o valor de R no caso das pcquenas excentricidades e inclinacOes. 



J. L. S.\RME.NTO. 



