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 SECCiO DE MATDEMATICA. 



Methodo facil para ohler a equarao final, (me deve dar lodos os i ralores de h que cnliam 

 lias formulas das variacOes seculares das excentricidades , e lonrjiludes dos pcrilielios : 

 Pontecoulanl, Theorie analytique dusyslcme du monde, 2." edirdo, lie. 2.", cap. S, n." Oi. 



Se fizermos h — i. [a, a'] = a; [a, «'| = p-, f"? 

 I a'. a|=:»'; |«'. fl"| = -r'; etc.; A— 2 [a", a]=y': 



equacoes (k) do n.° 04 do livro 2.° da obra citada tomariio a forma a -V+P M'-'r f jU"+ ctc.= o; 



a'jl/V3'.V'+-r' v»/"-}-ctc. = o; a"i)/ + p"YV'+f" il/"+elc. = o; etc (1); 



Se applicarmos a estas equafoes a rcgra dc Craiimicr (Francoeur Matli. Puras 2." cdiriio do 

 Coinibra torn. 1.° pag. 179) para a dctcrminafao dos valores das arhitrarias M, M', M" , etc., 

 vcremos que os niimeradorcs dados por esta regra sao lodos nullos, por nao existirem nas 

 equacoes (1) tcrnios independentes das arbilrarias ; e que o denominador coninuim e tal, 

 que um dos seus termos se forma do produclo dos i factores a, fi', f", etc., cada urn dos quaes 

 coatem a primoira potencia de h no primoiro termo, sendo os outros independentes d'esta 

 quantidade; donde e facil concluir que o dicto denominador e um polynomio completo do 

 grau i cm h sem arbitrarias. Soja ip (h) este polynomio; os valores das arbitrarias seran 



3[=—-—, M'=—jT-, 3I"= — ---, etc.; mas nela natureza do problema estas arbitra- 



f(iO ¥W vi/'J 



rias nao podem ser nulias simultaneamente ; e pois forcoso que seja ^(li)=o; c por .>.er 

 ^(h) um polynomio do grao i cm h sem arbitrarias, como ja mostramos, sera a(h) = o 

 a equacao final em It que se pretendia acbar. Assim para obter esta equacao, basta formar 

 pela regra de Crammer o denominador commura dos valores de M, M' , 1\P', etc., e egualal-o 

 a zero. 



Este methodo e muito mais simples que o empregado por Laplace no n.° 30 do cap. T." 

 do liv. 2.° da Mccbanica celeste; e que o segundo indicado por Lagrange na 3.° cdicao da 

 Mechanica analytica toni. 1.°, parte 2.°, seccao C.°, n.° 0, e tem sobre este a vantagem de nao 

 elcvar o gniu da equacao linal, introduziudo solucOcs estranhas. 



JACOME Loiz S.VRMENTO. 



Trisecrao do anyulo por meio da hyperbole e circulo. 

 Interpreiacao d'uma solucao eslranha. 



Do ponto C, origem das coordenadas rectangulares, como centro, c com um raio qual- 

 quer C A = r descreva-sc (lig. 1.') o circulo A B D E: seja A Af o arco dado, que pode tor 

 na circuraferencia do circulo descripto uma posicao arbitraria; e supponbamos o problema 

 resolvido, reprcsentando AM a tcrca parte d'este arco. Tirem-se Mp, e /I, P pcrpcudicula- 

 res a C A\ teremos 



AiP = s>cn AA,=s , CP = cosAi^ = e 



Mp ^ sen A i?/= ; , Cp = cos .1 J/= -j- 



Posto isto, tirando as linhas A/M, e CM, e prolongando Mp ate ao encontro com a 

 circumferencia em //, o triangulo rectangulo € Mp da 



5" + -i'=^ r'^ (fl) 



que e a equacao do circulo A B D E. 



Resta acbar uma relacao entre os senos e cosenos do arco A 3f, e os do arco .1.1,. Ura 

 AiP=AiQ^QP: procuremos estas quantidades. 



Porque AM=AII , e i, 7l/=2 A M, os arcos A^M e Mil sao eguaes; logo os ani;ulos 

 A^M C Q C M II sao lambem eguaes : logo 



A, M C= CMII=:CQP = M Q A, 



d'ondc A^Q=:A,M=^Mn=^Mp = 2,. 



