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Com cITeilo sabemos, que, para quo iima cquaciio f{z)=:o IlmiIui todas as raizes rcaes, 

 e necessario que, na equafao ao quadrado das dilTcrenras iiao liaja scnao variafoes. For- 

 mando pois esia equarao, chega-se ao resullado que dosejanios: mas podcmos evitar a forma- 

 fao d'ella, serviado-uos do llieorcma de Sturm, que da para o nosso fim as seguinles con- 

 diroes : 



— (e" + 2 »•=) < 



— 8c'r*-f Tc"?-'— 3r <o 



Il2c'°+2l3c'r' — 19221 c'r'+ 122072 c'c'—O2Gi0c'j-' |-1382ir"' >o 



A primeira desegiialdadc evidcnlemonte sc da: para verillcar as oulras duas, lacamos 

 '=itr<J/^, c dividindo a seguuda por r", c a lerceira por )'°, sera 



112 i^ + 2 13 A* — (19221 Ic' — 122072 /;' + C2GiO /,) -f 13821 > o 



l)eri\ando a quantidade — 8 4^ + 7/;, c o parenllicsc da ullima desogualdade, vf-se (jue 



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 o maxmo para a primeira exprcssao corresponde a /;= — , o que da para — S/r+zi 



um valor menor que o ultimo tcrmo da dcsegualdade ; e para a scgunda expressao o maximo 

 correspoude a A- = 0,319 proximamentc, dando para valor do parenthese nma qnanlidadc 

 inferior ao ultimo terrao d'aciuella expressao. Logo lambem por estc modo fica demonstrado 

 que (2) tera as 4 raizes todas reacs; e por consequencia lambem a 1/ das equajoes (1), 



d'onde ella deriva pela hypolbesc x^=z->r- . raesmo sc applicava a 2." das equacOes (1). 



Vejamos se (1) podem ter raizes eguacs, c ([uaudo as tenbam, que rclacoes deve haver 

 para isso cntre os seus coefficientes. 

 A 1.' de (1) e 



, 3 , , 1 . , c'-s'- 



flx)z=x' — ex y »■ x^ — - cs- X + — — = 



^ ^ 4 4 10 



-, 3 1 



"^ f'{x) = ix'' — 3ca;* — g'''^ — 7'^*'' 



v,j^ Jl,^ l.° reslo = 3 a;'- (c"* + 2 »'^) — - ex (3 P — 1 c"") + - c'^ r"^ — 7 c' 



Xi- ' V ■ / 2 ^ 4 4 



3 ,„ , „ ,s 3 , , 3 



x" [C -i-'2 r) — 



C*<0 rcsto de f [x) por ^, (i 



7?_^=: — G j; (3 )•' + 8 c' ?-^— 7 c' r' ) + - c (c^— r') (c' -)- 2 r'— 4 c' r- ) 



O rcsto dc It, por R^ 6 



/<3 5= — c'(c-— r') (c"— 39 c'" ?•'+ 470 cV— 830 c' r' + 722 c'r""— 312 c" r"+ C4 r'^) 

 = — c'(c^ — r') A', chamando por brevidadc A' ao ultimo parenthese. 



Este resto pode ser nullo, ou porque seja f = o, ou c=±r, ou K = o. Mas A' niio 

 pode ser zero, em quanlo que se tomem para c valores eguaes ou menores que ± r ; porque 

 suppondo A' nullo, pondo c^ = m, e procurando pelo metbodo das derivadas limite infe- 

 rior das suas raizes positivas, aeha-se que csle limite e ?H^=-t-r^; e como evidentemcnte 

 na equacao transforraada em m nao ba raizes negativas, nunca pode A' ser zero em quanto 

 for c = ±r. Logo as unicas condicoes para haver raizes eguaes sac e = o, c=±r, dedu- 

 zidas dos outros factores do resto 7i,. lutroduzindo cstas condicoes em (1) acha-sc em todos 

 OS cases a raiz dupla x^o , c ij:=o: que concorda com que ha pouco haviamos encon- 

 trado; pois vinios, ([ue cada unia das cquacoes (1) tinba 2 raizes eguaes, ,t=o, x==:o , y=o, 

 y = o , no case d'aquelles valores dc c. 



Continua. antomo Jost TEIXEIRA. 



