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SECC.iO DE MATHEMATICS. 



Triseccdo do angulo por meio da hyperboU e circulo. 

 Interpretacao d'uma solu<:ao eslraiilia. 



Contiauatlo de pag. 1^4. 



Temos ale aqui iratado a questao analylicameiite, e na maior gciicialidade, fazendo ver 

 que a hyperbole lia de sempre corlar o circulo cm quairo ponlos. Inlcrprelemos agora essas 

 quatro solucOes. 



Mas notemos aules, que a eliminacao entrc as equacoes do circulo c da hyperbole podia 

 ser feila da raaneira,seguinte : 



Tirando de (6) o valor de .- , e subslituindo-o cm (a) veni 



0" t' {>■" H- 4 c 7 + 4^') = r' (c^ + ic-i j- i t") 



ou (4 c T + 4 •r'') (-r^— r ) -|- r^ (7"— c') = 



ou 47(c+7)(7^— r=)4r^(<;+i)(7 — ff) = o 



3 1 



•^'ondc it-rc)it'—^r-'-j~~ci-) = o (G) 



3 1 



Idcnticanicnte (;_^) (,'_ r% + jir') = o (7) 



cquajoes em que ha respectivamente os factores i + c, 5 — s. 



1 I 



Revertendo para as equacoes (1), facilmentesevii que estes factores sao, x + -c, y s; 



podendo assim as equacoes (1) escrever-se : 





(y-i *) (y' + 3 'y^'-i "^'y-s ' '''="! 



(1') 



Este systema de equacoes, dcpois de desembaracado dos respectivos factores, mostra im- 

 mediatamente que a quanlidade 27 9^ + ip'< ; e por isso que (!') estao no caso irreducti- 

 vel. Basta fazcr desapparecer os 2.°' termos a estas equacoes, c calcular aquella quantidade, 

 altendendo a que em geral 6 c< ±r. Mas na equacao (6) que vem ja sem 2.° termo, 



27c'>-' 27 r' , , 



acha-se logo, que 2i rf + ip = —77- ts~ > °^ "' — '"<<'• 



ID lO 



mesmo mutatis mutandis sc vcrilica na equafao (7). 



Se tivessemos practicado a eliminacao ao niodo ordinario enlre as equafoes (a) e (6), 

 veriaraos tambem facilraenle que as equacoes correspondentes eram satisfeitas por 1= — c, 



1 t 



; = s , bem como sao as equac5es (1) pelos valores x = — ~c, y = -s: mas supponha- 



mos que nao deparavamos com estes factores, e procuremol-os pela analyse. 



1 

 Busquemos por exemplo factor x + -c. 



Porque (4) esta no caso irreduzivel, de nada nos servem as formulas para a resolucao 

 das equacoes do 4." grau, e somos por isso forcados a recorrer as series para a resolufao 

 das equacoes (1). Ora applicando a 1.* d'estas a regra de Newton para desenvolvimento 

 das raizes em serie, acham-se, para dar os primeiros termos d'ellas, considerando x e r como 

 lelras principaes, as seguintes equacoes 



ix"- — 3r^ = o; 1 2 a;"' + 4 c a; — c'' = o (8) 



