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d'onde 



x=+WT,x'=-'-t^,a"= + i, ^" = 



C " " 2 



Fazendo x=-;--K3 fz para achar o 2.° termo da 1." raiz, c substituindo em (1), 

 vuin a translbrmada 



— ICc 



z' + 60 )■'' 

 — •iil^Icr 



12 KF)-' 



— 4 c'- 



4- c^ »■' 



+ 2K3"c'»- 



=0... (9) 



d'onde pela regra citada as condicoes 



43' + 8K3'r3' + 15r»2 + 3I/T'-' = o (10) 



3z — 2c = o (11) 



Rpj(>iinnrln n.; vnlnrps Cin). porque alias teria a equacao (1) mais de quatro raizes, tcraos 

 2 

 z =^c , deduzido de (11). 



Conio em (1) entram so potencias pares de r, a equacao correspondente para a 2." raiz 

 obtem-se, miidando cm (9) )■ cm — r; e sendo o valor liuai de z independente de r , evi- 

 dentemente e o mesmo que para a primcira raiz. 



Fazeiido agora x"=z +- em (1), acha-se 



u.-H,. 



12 P 



16 



■y 



80 , 



+ 27' 



32 . 



(12) 



da qual resultam as equafoes 



4z^ — 3>-^ = o; 3z + 2c = o; 4(j' + 81 r''s = o (13) 



Rejeitaraos os 2 valores da 1." de (13), porque esta equafao 6 identica com a 1." de 

 (8); da 2.*, porque idenlificaria x" com o 1.° termo de x'"; e aproveitamos apenas o 



valor s = — — . -J . 

 81 r' 



Poniiamos (inalmente x"' = — z + ' s™ (1) ^'•'a 



z J4:' — 12 c 3- + 3(4 c^ — P)z — 2 c (2 c^ — r^) 1 = 



(14) 



Esta equacao pode ser satisfeita ou por z^o, ou pelo outro factor. Mas a regra de 

 Newton da para clle 



4z'— 3r'- = o; 3z — 2<;==o (16) 



condicoes que lem ambas de ser rejeitadas; porque a 1.' e identica com a 1.' de (8), e a 

 2." idenlificaria x'" com 1.° termo de x". Logo so pode ser z = o, que annuncia que a 

 raiz e finita ; e e esta a condicao propria para attestar a commensurabilidade das raizes. 

 Temos pois 



r _ 2 

 ^=+^i^3+^c+ 



