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Mas dcixcmos csta iloulrina, era que tocamos por incidente, e de que talvoz um dia nos 

 occupemos mais de cspafo, e conlinucmos no olijecto d'esle artigo. nosso fun, com o 

 dcsenvolvimenlo das raizes da 1.' de (1) cm serie, loi niostrar urn dos iiieios, de que a 

 analyse dispOe, para pur era evidencia qualqucr factor commcnsuravel do 1.° grau nas 



equacOcs litlcraes. Por uni processo analogo poderiamos achar o factor y — -s da 2.'de(l). 



Os factorcs Y + c , ? — ^,(lao-y = — c,c = .9; pcio que so t'i^ que csla solucao 6 cslra- 

 nha ao problcma, visto quo sec representam rcspeetivamenle o seno c coseno do arco que 

 sc prclciidia dividir em trez partes cguaes. Esta solueao proveiu das equarocs (a) e (*) que 

 se formaram 'num eslado do generalidade niaior do que o exigido para a resolurao do pro- 

 blcma : e com elTeilo a equacao (o), que.e a do circulo dado, satisfazem quaesquer coorde- 

 nadas dos pontos d'esle, c por isso tamlieni s, c — c; e a equacao (d) , onde esta impressa 

 a condicao do problcma pelo valor dc A/ Q = MU, lica egualiirento salisfcita pelas mesmas 

 quanlidadcs: por quanto, ou tpiando k A M o Icrco de AAf, ou quando e A/S^A'^B , 

 temos rcspectivamente AiQ = M If, AiQi= A'/ Q'l- Por onde sc ve que a condicao introdu- 

 zida cm {b) e mais geral que a requerida, e por isso apparece a solucao correspondcnte ao 

 ponto A'/. 'Nestc caso A/Q e QP mudara-se em AjQi e — 0/ P, a primeira das quaes e o 

 dobro deil,/', e a segunda deduzida dos iriaogulos similhanles, que sao agora CPQ/, 



C P'A'i e = — s. A equafao (A) e a figura moslram alera dislo, que as coordenadas 



do arco dado, em ncnhuma oulra posicao differente da marcada por DA'/, podera salisfazer 

 aquella equacao substituidas por ; e f. 



Continua. antgnio jos£ TEIXEIRA. 



REFUTAQAO DE UMA PROPOSigAO DE DUBOURGUET 



SOBRE 



CALCULO INTEGRAL. 



i) bem conhecido o principle de calculo integral, que ensina, que loda a equacao differen- 

 cial da ordera re tern n integraes da ordem n — 1, nera mais nem menos. A demonslracao 

 d'este principio, a mais simples e luminosa, e sem diivida a que deu Laplace no principio do 

 cap. 5.°, do liv. 2." da Mechanica celeste, cujo desenvolviraenlo e o seguinte : 



Seja y-^ -{- P=o uma equajao differencial da ordem n entrc x e y; sendo P funcjao de 



dy d^^i d'—'y „ , ■ . i • . 



3!,y,-f-, -T— :, . • . -r^;;^:^- Supponhamos que por um meio qualqucr podemos integrar uma 



vez esta equafao ; obteremos um integral da ordera n — 1 cora uma arbitraria; integran- 

 do de novo, obteremos um integral da ordem ii — 2 cora duas arbitrarias ; e assim por 

 diantc ate cbcgar ao integral liuito, que se obtera com re arbitrarias. Ora todos estes integraes, 

 desde o linito ate ao da ordem re — 1, formara um systeraa de n equafoes cora re arbitra- 

 rias, que chamaremos a(°>, o^'', oW, etc. as quaes darao peh eliminajao os n valores 



a(o)_^(o)_ a(0_^(.)_ aii)_^u)_ etc («), 



sendo 9'°', <f'-'\ 9^^^ etc. funccoes de x, y, -j-, j^ .... ^_^ ; e cstas equafoes sao os n 



integraes da ordem n — 1 da proposla. 



Mostrcmos agora que as equacoes (a) sao todas distinctas, e que nao pode haver outra equa- 

 cao da ordem re — 1 da mcsnia forma, e distincla d'ellas, (jue salisfnfa lambcin a proposta ; 

 que equivale a niostrar que integral finilo da proposta tern n arbitrarias distinctas, e nao 

 pode ter mais. 



Se por mcio das re equacoes [a] eliminarmos os re — 1 coefficienlcs differenciaes, obteremos 

 integral linito da proposta cora n arbitrarias; se porem aquellas equacoes nao forem todas 



