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dislinctas, nao sera possivel a climinafao, ncm se oblcra o integral finilo, contra a liypothese ; 

 pois que as equajOes (a) resuliaram do integral linilo, c das suas dill'erenciaes ate a ordem 

 n — 1 ; donde concluiremos que as equaooes (o), e as arbitrarias a(°', a^'\ etc., sao todas 

 dislinctas. 



Sui)pondo pori'Hi que o numero das equacOes (n) e n + 1 ; como n d'cstas equarOes bastam 

 para dar pela cliiiiinarao o integral linito, seguir-se-ia que poderinmos obtcr n integracs 

 liuitos coniplelos, c distiuctos, isto e, n valores distinclos de ij cm funcjao de x, e de n 

 arbitrarias, que todos satisfariam a proposta, o que e absurdo : assim as cquajOcs (a) sao n 

 distinctas, ncm mais ncm menos. 



Porem Du-Bourguel no torn. 2.° n.° 4S4 do seu calculo differencial c integral, edicao de 

 Paris de 1811 diz o seguinte : 



Aous remaiiinerons ici, que c'est a tort que plusictirs auleurs ont insinue dans leiirs ouvrages, 

 que hs cqualions di/JerenlieUes de I'ordre n n'onl que n premieres integrates ; car, independammenl 

 de ces n premieres integrales qu'on pent toujours oblenir par I' elimination des conslantes, comme 

 nous iavons fail precedemment, on pent encore (rci souvenl inteyrer I'equation differcnticlle de 

 I'ordre a proposec de plusieurs manieres di/ferentes, cc qui donne autant de premieres inlegra- 

 les, ou equations dijfcrentielles de I'ordre u — 1, qui different essenliellemenl enlre dies, el de 

 celles trouvees par le cakul indique dans I'arlicle 452. — E para provar a sua proposifao 



tonia a equacao differencial (1 — x) -r^, — 3 





(1)- 



tujos 3 integraes da 2.° ordem, achados pelo mctliodo acima cxposlo, sao 



e acha por certos processes dc calculo, que emprega, duas novas transformajoes para a equa- 

 cao (1), e para cada uma obtem um integral da 2." ordem, chegando assim aos dois novos 



.ntesra;sc- = (l-.)> ^; c-'=_(l-.)^^ + (l-.) | + , . 



(3) 



OS quaes integrados duas vezes, e eliminadas as arbitrarias, dariam mais outros ([uatro inte- 

 graes da 2.' ordem da proposta, que formam ao todo nove integraes, e que, segundo aflir- 

 ma, sao todos distiuctos. 



Para provar, a posteriori, a falsidade d'esla proposicao (que provada esta ella, a priori, 

 pela demonstracao que acima demos) basta raostrar que os dois integraes (3) estao induidos 

 DOS integraes (2), pois que os outros quatro, sendo deduzidos pelo mesmo processo, estarao 

 egualmente incluidos 'nclles ; e e isto o que vamos fazer. 



Tomando as equacoes (2), e sommando a priraeira multiplicada por — x, com a 3.* mul- 



tiplicada por 2 ; e a mesma 1.' multiplicada por 



1+x 



vcm as duas 



{l — xf ^ — iy + cx—lc'—o; [l — xY-jX. — ^y + cx + c + ii 



^(l-^)\x--- '- '- "' dx- 



(4) 



c tirando a 1.' da 2.', vem — c — 2 [c' + c") = {i — x)' j4. que sc torna na 1.' equacao 



3 in/ 

 dx'' 



(3) pela equacao de condirao c + 2 (c' + c") = — c"'. 



Multiplicando agora a 1.' equajao (2) por {x — 1), e sommando-a com a 2." equacao (4), 



vera c + c' = — (1 — xy- y^+ -r- (I — ») +y, que se torna na 2." equacao (3) pela equa- 



cao de condicao c + c' = c'" 



jAcouE Lciz SARMENTO. 



