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Laplace transformou ascquajocs (1), rclalivas ao moviraenlo clliptico, nas do movimenio 



liyperbolico fazendo a negative, «> 1 , « e / iinaginarios ; e transformou as racsmas 



equacoes nas do iiioviinenlo parabolico fazendo-lhcs miuianras que cquivalcm a fazcr ii 



intinito, c = l,«e— -^ nullos. Entre lanto as e<niafOes dos niovimcntos liyperbolico e 



parabolico podem acbar-se directamenle, accommodando a estes dois cases as equacoes 

 differenciaes. e intogrando-as; e isto o que vanios I'azer. 



As equacoes dilTerenciaes, cuja inlegracSo deu as equajoes (I), sao as seguintes, 



, Va{\—e).dr rdr 



dv = — , dtvy.^ — — ^2^ 



rS^'^r—'-^-ail-e') sj' i r —~ - a {I— f-) 



que as hypotheses de a negative , e e > 1 tornam em 



I ^a (e* — 1 ) . dr rdr 

 dv = ^ '.^ dt^f, = — - (3) 



rs/^.r + '--a{e-^-l) ^/sr +- L_a (e - 1) 



a 1.' pode mudar-se em 



\ e / . . , . ( «(^-l)7-^ 



dv= , cujo integral e e=arc. \ cos= 



ou ^ = .,- W 



l+e cost) 



que e a equacao da hyperbole, sendo o angulo o contado do peribelio; e per isso se nao 

 juntou ao integral a coustante arbilraria. 



dtl u. rdr 



A 2.' equacao (3) muda-se em = , , —, — - .. , „ ;. . , 



^ • ^ ' k« V^r^^tar — o'(e^ — 1) 



para a integrar facamos r = « — a (5) 



que a transl'orraa era 



is 



dl\'\L sds ads sds V s- — a'-e" ' 



(/rt Vs'' — a-e' ys — a'-e'- Vs^ — u'-e^ s+Vs'' — a'e* 



, . d[s-{- (/?-— a'- e^) 



—d . Vs^— a^e — a . -^ ., ., ; CUJO integral e 



s +V s'- — a-e 



— -^ =f/i' — o'e' — a log. Is +i^s'- — a'^e'-) + c (6) 



aya ' 



. , ae 



Facamos Vs^ — a'e==aetga, e vira s = (7) 



COSo 



e subslituindo na equacao (C), vira -—^ = aelga — a log. ( iae/o<»Mc, ou 



' ^ ' Va > cos w / 



^etg .^ — log. + c* (8) 



