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Substiluamos o ultimo valor de r na 2.' cquacao (12), c lercmos 

 ,,, ,, dv.sen-v rfiil sen •" - « + cos'' -i 



cos - v/ 1 — COS - 



■ , donde sclira 



dtl^u. • 2 ' 1 



Dl ID .1 ^ ^ 2 



cos ■' - t) 



V) 



cajo integral e ' D\/iD ^ '^ l" ' ~i '^'i" ^'*^ 



contando-se o tempo dosde o periliclio, onde i' = o. 



As cqiiaooes (1'.!) c (li) san as niesmas que aciiou Laplace; a 2.' ila i) cm funccao de I, 

 c a I.' deteniiina depois o valor de r. 



Mostremos agora que a 1.° cquayao (1) da iim uniio valor real de ti para cada valor 



tVtL . dtj 



de (: seja i/ = 'i — « sen u — •, e sera— ^=1 — e cos u , quantidade positiva, por ser 



na elipse e< t ; logo y cresce positivainente com u dcsde u = o ale it = oo ; e e uma func- 

 cao continua por serein linitas lodas as suas derivadas em ordeni a u: sendo porcm y 

 negalivo qiiando u = o, e y positive quando u==-o, havera iini valor real de « que torne 

 yi^o; e cste valor sera unico, por ser, como vimos, y uma funccao sempre crescente. 

 mesmo podemos niostrar a respeito da equacao (9) ; para isso facamos 



It 1 \ 

 log. tg ( T f - CO '=x; e chamando c a base dos logarilhmos hyperbolicos, vira 



1 I 



1 -■ In -m ^ 2 tg -c 



/tt 1 \ ' -^ 2 , , 1 c— 1 ^ 2 



donde se tira tg - o= ; mas Iga^ 



" \4 ' 2 ;' , 1 ■'2 t" -T 1 ' ■' , 1 



c" — 1 - /„x , n''ii c C-' — 1 



sera pois tqa= ; e a equacao !) tnmar-sc-ha em = x ■. 



^ •' tt' • . . / ui a "2 C 



e C-' — 1 t'.^u. fill e (■=' -1 . . . . 

 seia t/^ X ; como— = 1 e positivo por ser na nyper- 



bole e > 1, a funccao y cresce positivamente com x desdc x = o ale x=oo, e e continua 

 por serem finilas todas as suas derivadas em ordcm a x\ mas e y negative quando x = o, 

 e y positivo quando x = <x>; havera pois um valor real de x que torne yz=.u; e cste sera 

 unico por ser y uma funcfSo sempre crescente. 



Finalmente a e(iuacao (14) da tambeni um unico valor real de « para cada valor de t : 



para o mostrarmos facamos tg -«=;z, - — — = k, e a e(iuacao (14) niudar-se-ha em 



:'f 33 — A = o; que tem uma raiz real positiva por ser de griiu impar, e negative o 

 seu ultimo termo : seja u esta raiz, e dividindo o sen 1." niemhro por s — a, vira 



„ i^-r 3 (^ — k , . .. 1 J » 



s•^ az + a +3H =^o; mas a + 3a — A-=o por ser a raiz da equacao; 



z — a 

 lica pois z'-+ OS + fl''+ 3 = ; e esta c(]uai;ao deve dar as oulras duas raizes, que sao 



— a±K— 3(«"+4) , . . .' . ,,,, ,, , 



:= — ^^ ■ . anibas imaginarias : assim a equacao (llj da um unico valor 



real de « para cada valor do /. 



De tudo islo concluimos, que tanto no case do movimento elliptico, como nos dos mo- 

 vimenlos hyperbolico c parabolico, a cada valor de I eorrcsponde um systema unico de va- 

 lores de r e t). jacome lih sarmento. 



