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 facil, pero cuya elegancia no podra menos de causar siempre 

 admiracion. Tal es el que la suma 



l 3 -{-2 3 +3 3 +...+n s 



de los cubos de los numeros naturales, es igual al cuadrado de 

 la suma de esos misraos numeros, es decir, igual a 



(l+2+3+...+«) 2 . 



Para generalizar este teorema, escribamoslo primero (susli- 

 tuyendo n con 1+a) bajo la forma abreviada 



siendo las sumas relativasa *', que tomara sucesivamente los 

 valores 0, 1, 2... , *— 1, <*. 



Si /3..., y designan otros numeros enleros, se lendra igual- 

 mente 



2(l+e') s =[s(l+ft')i a , 



£ (l+-/) 3 = p (!+/]', 



tomadaslas sumas de (3'=0 a /3'=£..., de /=0 a y'=y. 



Y multiplicand© todas estas ecuaciones miembro por miem- 

 bro, resulta 



S...S(l+ a ') 5 ...(l+/) 3 =[2...2(l+a0...(l+y)r. 



Por otra parte, si se considera un niimero m descompuesto 

 en factores primos, de modo que 



m=o a b&... cr, 



se ve que cualquiera de sus divisores (inclusos 1 y m) puede 

 representarse por 



d = a«'bP ...d' , 



variando a' como se ha dicho antes desde a «, B' de o a 3..., 

 >' de a y. Ademas, designando por f (d) el niimero de divi- 

 siones de d, se tiene 



?(rf)=Ci-H0(i^)...(l+/). 



