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 La ecuacion que hemos oblenido antes, conduce pues a la 

 siguiente formula curiosa 



2?(rf)»=[S^rf)] a , 



en la cual es aplieable el signo s a todos los divisores d, pre- 

 sentandose, segun se ve, como una simple generalization del 

 leorema indio. 



Para dar un ejemplo de la ulilidad que puede prestar esta 

 formula en la teoria de los numeros, supongamos que m sea 

 uno impar con solo factores primos de la forma bp-\-\. Sabido 

 es que £ (m) expresa en ese caso el numero de descomposicio- 

 nes del duplo de m en una suma de dos cuadrados impares, es 

 decir, el numero de soluciones de la ecuacion 



designando x, y numeros impares positivos, y considerandose 

 como diferentcs dos soluciones si x e y no tienen idenlicamente 

 los mismos valores. 



Claro es que d ha de ser tambien un numero impar con solo 

 factores primos de la forma 4^ + 1 » como sucede con m de que 

 es divisor; y que z(d) sera el numero de descomposiciones de 

 2 d en una suma de dos cuadrados impares. 



Sentado esto, se deduce de nuestra formula el siguiente 

 teorema. 



«Dado un entero imparmente par sin ningun factor de la 

 » forma V-|-3, descomponganse lodos sus divisores pares (de 

 »que compone parte el mismo entero dado) en una suma de dos 

 » cuadrados impares, y busquese el numero total de descompo- 

 »siciones en dos cuadrados de que es susceptible cada divisor: 

 »la suma de los cubos de dichos numeros sera igual al cuadrado 

 »dela suma de esos mismos numeros.» 



Asi 50 6 2.25 liene 3 divisores pares 50, 10 y 2. Para el 

 primero se obtienen tres descomposiciones: 



50=7 2 -f-l a =l a +7 a =5 a +5 9 ; 

 para el segundo, dos descomposiciones: 



10=3 2 +l a =r+3 2 ; 

 finalmente, para el tercero una sola: 

 2 = 1+1. 



