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5=4; haciendo luego q—i, resulta 5=6; y si despues se 

 supone q= r o, se ve que 5=12. 



11. Por|fconsecuencia , solo existe im poliedro de caras 

 triangulares cuyos angulos solidos puedan ser triples; el le- 

 traedro. 



Tampoco hay mas que uno que pueda lener lodos sus an- 

 gulos cuddruplos; el octacdro. 



Y fmalmente, uno solo que pueda tener todos sus angulos 

 quinluplos; el icosaedro. 



12. Si se supone y=6, resulta 5 infinito; y </>6 da 5 ne- 

 gativo, lo dial no satisiace a ningun poliedro. 



Por tanto no puede existir poliedro alguno con todos sus 

 angulos sSxtuplos, y mucho raenos con lodos se'ptuplos, etc. 



13. Tambien se puede demostrar adenias, que en todo po- 

 liedro de caras triangulares ha de haber por lo menos un an- 

 gulo solido que sea triple, cuddruplo 6 quinluplo. Es imposible 

 que deje de haber en el poliedro algun angulo solido de uno 

 de dichos grados de multiplicidad. Porque supongamos, si es 

 posible, un poliedro que solo tenga angulos solidos de un grado 

 superior a 5. Sea i el numero de angulos sextuplos, j el de 

 septuplos, u el de ocluplos, etc., y se lendra 



6t+7>+8w+...=2i=65-12; 



de donde, a causa de 



i+j+u+...=S, 

 resultara 



y+2w+...= — 12; 



cosa imposible, porque u,j, etc., son mimeros esencialmente 

 positivos. 



14. Cuanlo acabamos de decir sirve para precisar bien la 

 definicion de un poliedro de caras triangulares. Lo que se en- 

 tiende por el, no es por consecuencia mas que una cadena con- 

 tinua y cerrada de cierto numero de triangulos ligados entre si 

 por un lado comun: todo lado 6 arista corresponde solo a dos 

 triangulos de ellos que llevan el nombre de caras; de raodo que 

 si en la figura de que se trata, formada por todas las aristas, 

 hubiese ma3 de dos triangulos descansando en una misma 



