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menos; pero en ese caso todos lo son asi, porque suponi6ndolos 

 tales, resulta ya 12 conio numero de todas las aristas, que es el 

 numero exacto de ellas en todooctaedro posible. 



Hay pues un octaedro simple 6 primilivo, y ese oclaedro sim- 

 ple, que tiene todos sus angulos cuddruplos, es unico. 



23. Decaedro. Consideremos ahora el poliedro de 7 vertices, 

 10 caras y 15 aristas, el decaedro, y veamos si los hay primi- 

 tives. 



Eliminantlo siempre el caso de los angulos triples, lo cual 

 haria corresponder el poliedro a un cuerpo compuesto, el soli- 

 do simple en cueslion no puede tener mas que angulos cuadru- 

 plos, quintuplos y sextuplos. Pero es imposible hallar angulo 

 alguno solido sextuplo. Porque sea M dicho angulo en que se reu- 

 nen seis caras triangulares; seria preciso que en el lado AB, por 

 ejemplo, en que descansa la cara M AB, hubiese ademas olro 

 triangulo apoyado 31' AB, para formar con el primero las dos caras 

 triangulares cuya comun arista es AB. Mas el verlice M' de ese 

 segundo triangulo no puede ya caer sino en olro de los vertices 

 restantes C,D, E, G del exagono; sea por ejemplo E dicho vcrtice, 

 de suerte que EAB forme con M AB las dos caras apoyadas en 

 la misma arista AB; resullaria el letraedro MABE, y por con- 

 siguiente seria compuesto el decaedro, lo cual es contrario a la 

 hipolesis. Luego es imposible que haya augulo alguno solido sex- 

 tuplo en el decaedro simple 6 primilivo. 



Quedan por tanto unicamenle los cuddrvplos con los quintu- 

 plos, puesto que se eliminan los angulos triples. 



Sea i el numero de cuddruplos y j elde quintuplos. Contan- 

 do las aristas que hay alrededor de cada verlice, se obten- 

 dra 4 1 +5;, que compondra el duplo de ellas, y por consecuen- 

 cia el numero 30 en el caso presente; se lendra pues 



4t+5y=30 

 c 



de donde se deduce 



i=oyj = 2. 



El decaedro primilivo, si es posible. ha de tcner necesaria- 

 menle 2 angulos quintuplos y 5 cuddruplos; este solido exisle 



