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Tal es piies la espresion del area en cl caso raas general 

 que pucde darse. El segundo miembro, que sabemos ya cs 

 independiente de la direccion de los cjes, lo es tambien ade- 

 mas desu origen, de lo cual es lacil cerciorarse, Irasladando 

 dicho origen a un punto cualquicra. Las denominaciones adop- 

 ladas antes se hallan por tanto completamenle justificadas. 



La formula que acabaraos de demoslrar exije iinicamenle 

 que el poligono sea cerrado. Pero los lados pueden conlarse 

 de todos modos, y reunirse varios vertices en uno solo, sin 

 qucdejedeser apUcable la formula, con tal que elperimetro 

 pueda considerarse como un hilo sin interrupcion, que par- 

 tiendo del punto A,, y pasando sucesivaniente por los puntos 

 A^,A^, etc., concluye por volver al de partida. 



Segun csto, un poligono de n vertices se podra considerar 

 corao si tuviera 2„, 3„, . . . . hi lados, bastando que se imagine 

 que vuelto el hilo al punto A, principia de nuevo a pasar, y 

 en el mismo orden por los puntos A,. A,, etc., y eso el nii- 

 mero de veces que se quiera, con tal que concluya por dete- 

 nerse en el punto de partida. 



El USD de los signos + y — para distinguir las areas en- 

 gendradas por rotaciones directas 6 inversas presenta la uti- 

 lidad de esas especies de convenios que reunen en un mismo 

 cnunciado un niimero a veces considerable de leoremas del 

 mismo genero. Ponemos a continuacion algunos ejemplos, 

 que podran servir de ejercicio al lector. 



Designando A, B, C, etc., unos puntos distribuidos a vo- 

 luntad en un piano, y A ^ C el area del triangulo cuyos ver- 

 tices scan A, B, C, se tendra. 



Para cinco puntos: 



ACE. ABD=zABE. ACD-{- ABC.ADE. 



(Teorema de Fontaine.) 



{ABCDEy-{ABC+BCD+CDE+DEA+EAB).ABCI)E 

 -{•ABC. BCD -{-BCD CDE + CDE . DEA + DEA . EAB -|- 

 EAB. ABC=^. 



(Teorema de Gauss.) 



