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 cion ningun niimero cnlero por raiz. Sobre esta raaleria se 

 hallan nolicias sumamenle utiles en las Jnvestigaciones aril- 

 mSticas de Gauss: la priniera seccion contiene una propo- 

 sicion general, que en un gran niimero de casos proporciona 

 medios rauy sencillos de conocer que la ecuacion propuesla 

 no adraite raiz ninguna entera. 



Vamos a eslablecer primero esta proposicion, empleando 

 linicaraenle para ello los lerminos que se usan en la ense- 

 flanza elemental, y manifestaremos con ejemplos la ulilidad 

 que pueda tener. 



1. Sean i {x) 6 Ax^ + Bx™— ' -|-- • • + Px4-Q un polino- 

 mio de coeflcientes enteros, y a, b dos numeros cualesquiera tam- 

 hien enteros. positivos 6 negativos, cuya diferencia (b — a) sea 

 exaclamente divisible por cierto niimero enlero n: siislituyendo 

 sucesivamente x con a y b en f (x) la misma diferencia f(b) — f 

 (a) de los resullados de esias dos susliluciones sera divisible 

 por n (1). 



En efeclo, las igualdades 



/•(a)=Aa--f /?a°'-'+. . .-J-T^a+Q, 

 dan 



f[b]-f{a)=A{fr-a'')+B{b-'-a-'-^)+....-\-P{b-a). 



Pero se sabe que las diferencias 6"— a", b^-^—a"-^, etc., 

 son exactamente divisibles por b—a, luego 



es mulliplo de b—a, y por consiguiente lambien de n. 



2. Si en un polinoinio f (x) de coeficienles enteros. sesusti- 

 tuye sucesivamente la variable x con dos numeros cualesquiera 



(1) El enunciado de Gauss es el siguiente: Sea X una funcion de la 



indeterviinada x de esta forma kx^-\-'Bx^-\-Cx'^-\- siendo numeros 



enteros cualesquiera A, B, C, etc., y a, b, e, numeros enteros y positivos. 

 Si se atribuyen d x valores cdngruos, segun cierio modulo, los que re- 

 sulten de X lo serdn igualmente. 



