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enteros a. b, positivos 6 negativos, y se dividen los residtados 

 f(a), f (b) de estas sustitiiciones por la diferencia b — a de los 

 numeros suslituidos, las restas de ambas divisiones serdn igua- 

 les entre si. 



Efectivamenle, sean r y r' dichas restas, y q, q' los co- 

 cientes que les corresponden, y se tendra 



f(a) = ib-a)q-^r, 



f[b)={h-a)q'-Yr\ 



y de aqui 



f{b)-f[a) = {b--a) (r/_^) + r'+r. 



Siendo cada una de las dos restas r, r' menor que su di- 

 visor correspondiente {b—a), la diferencia r'—r de las mis- 

 mas ha de ser necesariaraente menor que {b—a)\ aderaas 

 (n.^l), f{b)—f{a) es divisible exaclamente por {b — a); 

 luego 



r'~r=0, 

 de donde 



r'=.r. 



Lo mismo pudiera demoslrarse que las restas de las divi- 

 siones de f{a), f{b) por un submiiltiplo cualquiera n de b—a 

 son iguales entre si. 



3. Si se suslituye sucesivamenle x en el polinomio f (x) 

 de coeflcientes enteros con los numeros enteros consecutivos a, 

 a -{- 1. a -f- 2, etc., positivos 6 negativos, y se dividen por cierto 

 numero n, tambien enter o . los resultados f(a), f(a-|-l) , 

 f(a-j-2) etc., de dichas suslituciones, las restas de las n pri- 

 meras divisiones se reproducirdn indefinidamente por el mis- 

 mo or den. 



En efecto, llamese b el (n-f-l)" terraino de la serie inde- 

 fmida a, a-\-\, a-f-S. etc., y resultara 



b — a=.n. 



Por consecuencia (n.^S), las restas de las divisiones 

 de f{b) y f{a) por n seran iguales. Tambien lo seran entre si 

 las de las divisiones de f{b-\-\) y /(o+l) por n; porque 



