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1 .' Cnando el lermino independienle de la incognita de una 

 ecuacion de coeficientes enteros 



f{x) = 



es un mimero impar, y la siima de los coeficientes de los lermi- 

 nos que conlienen la incognita es un mimero par, la ecuacion 

 no puede admitir como raiz ningun numero entero. 



Porque las siistituciones de 0, 1 en a:; dan por resiillado dos 

 numcros/"(0), /"(I), que por Iiipotesis ninguno es divisible por 

 el de las susliliiciones, 2; luego (n.°4) la ecuacion no ad- 

 raile raiz alguna entera. 



Consideremos por ejemplo la ecuacion 



a;i_20a;5+15a;5— 12>r-75=0, 



cuyo ultimo lermino — 75 es impar. La suma de los coeficien- 

 tes de los lerminos dependienles de x es el numero par — 16; 

 por consiguienle, la ecuacion no liene raiz alguna enlera. 



Se sabe por otra parte que tarapoco puede admitir raices 

 fraccionarias, puesto que el coeficiente de su primer termino 

 es la unidad; por lo tanto, sus raices reales son inconmensu- 

 rables. 



2.° Si los resultados de las sustituciones de — 1, 0-f- 1 en la 

 incognita x del primer miembro de una ecuacion de coeficien- 

 tes enteros 



f{x)=0 



no son ninguno multiplos de 3, la ecuacion no admitird raiz 

 alguna entera. 



Asi resulta de la proposicion deraostrada (n.^i), supo- 

 niendo a=—l y )i==3. 



Tomemos como ejemplo la ecuacion 



2 «5 - 8a;*+ 7«5_ 3a; — 80 = . 

 Suslituyendo sucesivamente x con — 1 , 0,-|-l > resulta 



/■(— 1)=-94,/-(0)=— 80,/-(l)=-82. 



Ninguno de los numeros 94 , 80 , 82 es miiltiplo de 3, y 

 por consecuencia no liene raiz entera la ecuacion propuesla. 



