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14-2.3+3.4 + 6.12 = 36 + 9.3 + 4.4 + 12; 

 lo que asi es, porque el total de ambos miembros es 91. 



Sobre la expresion (f(n) que senala cudnlos numcros prinws 

 con n contiene la scrie 1 , 2, 3 , n; por Mu. Liouville. 



(Journ. dc Mathem.; marzo ^8b7.) 



Euler dio el valor general y sencillo de la expresion <p{n), 

 que senala cuantos nuraeros pi imos con n coniiene la serie 



1.2,3,4 n-\ , n. 



Es claro que 



y para cualquier entero n , descompuesto en factores primes, 

 bajo la forma de 



«=:a* h^ c''. 



Euler halla 



.(„,=«(i-i)(i-i) (t-i), 



De aqui se concluye facilmenle, efectuando el calculo, que la 

 suma 



^(1)+, ((/)_!_ <p{n) 



de las expresiones ?, aplicadas sucesivamente a todos los di- 

 visores de n, es igual al niimero mismo n. 

 Pero tambien se puede sacar la ecuacion 



<p(l) + ?'(rf) + (p(n) = 7i 



por un razouamienlo direclo, independienle de la formula 

 que da (p{n)\ y asi la demostro primero Gauss, a quien se debe 

 la ecuacion (v. el num. 39 de las Disquisiliones arilhmeticcB). 

 Si se observa que la ecuacion de que se trala, haciendo su- 

 cesivamente en ella n=l, /i=2, n=3, n=i, etc., da los va- 

 lores de $ uno tras de olro, a saber: 



