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Aun notareraos, que sisehace a;=±°° y despuesa;=o,en la ecua- 



TT 



cion dada, se hallara respectivamente y-=~^ (" y=o. Lo Jcual 



manifiesta que, en el primer caso, todas las derivadas son nulas, 

 y que en el segundo solo son nulas las de drden par. 



Consecuencia. Si se tuviese que liallar la derivada del drden 

 m de la funcion circular monomia 



y=rAarc.tangJ!.x. , ,, , 



I , ,;!!« 111,. .<-,il blillilili. 



designando A y^ cantidades independientes de x, se hallaria 



dm Y r- ^-] 



-— i=1.2.3....(m— i)A(acosy)mcos my-+-(m— 1) — I 



Observacion. Cuando hemos liallado esta solucion, ifnoraba- 

 mos que Arbogast hubiese dado ptra del mismo problema en su 

 calculo de las derivaciones publicado en 1800. La que da Arbo- 

 gast en la pagina 316 de dicha obra es 



l-t-\2 (n-2)(ii— 3) (i-f-x^ )8 



dn-!-i(arctang)x 2>i x" f'^~^^'2'ixi'^ i.2 



~dY^i~~'=-^'^-^-^-'" (7+s2 ) n+! (^ - (.i-,l)(n-4)^(i|--.5) (i +x2J 



1. 2. 3. 26 x6 



advirtiendo que el signo superior del :p debe tomarse cuan- 

 do n sea impar, y el inferior cuando n sea par. 



Para obtener esta formula, Arbogast hace la aplicacion de.un 

 riietodo que da la derivada de un drdeii cualquiera de una fun- 

 cion raonomia d polinomia, sin que sea necesario para obtefier- 

 la de pasar por las derivadas de los drdenes inferiores (*). 



Problema segundo. Desenvolver la funcion arcfangX;, s^egun 

 potencias ascendentes, enteras y posHivas de x. 



Solucion. Teniendo presente el problema anterior, 'se liar- 

 Ua que 



X x3 xS 



arctangx=-- — -i- ,...dbR. 



i 3 5 



(•) M^tddo de tma importancia notable, y sin embargo po«o e'lftu- 

 diado. 



;— N 1 



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