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Ea esta relacioii, la cantidad ± R designa el resto de la serie. 

 Este resto calculado segun la formula de Mr. Cauchy, da redu- 

 ciendo 



±R=±:xcosy x(i— 3) cosy | cos m}-+-(m— 1).— 1; 



Segun la nota dicha antes, m siempre impar. Se tomara R 

 con el signo mas 6 con el menos, segun que el reslduo del orden 

 de ia derivada pur 4, es igual a mas uno 6 a me^ios uno. Desig- 

 na a una cantidad menor que la unidad, e y esprosa aquello en 

 que se muda arctangx, cuan lo en el se pone ^.r por x. 



Busquemos las condiciones para que la serie anterior prolon- 

 gada al infinito, sea convergeiUe. Notaremos antes que sus 

 terminos son alternativamente positivos y nej^ativos , en cuyo 

 caso solo nos resta buscar las condiciones para que decrezcan 

 indefinidaniente. Con este fin designemos por " p, " p-ni dos 

 terminos conseculivos de esta serie, correspondientes a los sitios 

 p,p-t-l. Se tendra 



' 2p— 1 ^ 2p-t-1 



correspondi^ndose los signos superiores e interiores; de ellas re- 

 sulta 



up L 2p-t-lJ 



La cantidad que esta entre parentesis se halla comprendida 

 siempre entre o y +1 ; y no es igual a 1 sino cuando p=». Luego 

 para que los terminos de la serie vayan decreciendo indefinida- 

 niente, cuando p crezca sin limites, es necesario y basta que x 

 no est6 fuera de los limites -ni y — 1; esto cs, que x no sea 

 mayor que -*-l , ni menor que — \ . Si .r llena esta condicion , la 

 s^rie prolongada al infinito es convergente , segun un teorema 

 conocido ; aun ella lo es para los valores particulares 



i=-<-t,x=— I. 



Estosupuesto, para que la serie prolongada al infinito ten- 

 ga por suma arctangx , ya que los valores de x no han de ser 



