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mayores que -t- 1, ni menores que-^1 sera necesario demostrar 

 que cuando w=» , se obtendra 



liin(±R)=o. 



Pero, segun la forma bajo la cual heraos presentado el resto 

 de la s^rie, se ve que esta condicion sera satisfecha , si el valor 

 absoluto de x (1 — 5)cos y es manor que d, 6 si a^^^ 1. Y como esta 

 Ultima desigualdad queda evidentemente salisfecha para todos 

 los valores comprendidos entre -t-1 y — 1, resulla que cuando x 

 este tornado entre los misraos limites , la serie anterior prolon- 

 gadaal infinito , tendra por suma arctangx, y podra escribirse 

 con exactitud 



X xS x5 xi 



(A) arctangx=-— — o"^~ =— f-....al intiiiilo. 



Esta formula aun es exacta para los valores particulares 

 a;=-t-l, x— — 1, puesto que el segundo miembro continua sien- 

 do convergente para estos dos valores de x. 



Parte histdrica. La formula (A), may notable por su sencillez 

 y por sus aplicaciones, fue dada por Gedofroy-Guillaurae Leibnitz, 

 a principios del ano de 1674, durante su estaiicia en aquella 

 ^poca en Paris. 



Observaciones. Puede hallarse la formula de LeibR'itz hacien- 

 do uso de las cantidades imaginarias: 1." empleando la formula 

 que da la tangente de un arco en funcion de esponenciales ima- 

 ginarias: 2." siguiendo un metodo debido a Mr. Cauchy. 



Comemencia. Puede trasformarse la formula de Leibnitz 

 en otra que convenga a valores de las tangentes que se hallan 

 fuera de los limites-<-l y — 1, 



En efecto, se tiene, cualquiera que sea x , 



i TT 



arctangx-j-arctang — =-x-> 



de donde sale arctangx=-^ — arctang — . 



Suponiendo x fuera de los limites-+-d y — \ , se infiere que 



