TRAVAUX MATHEMATIQUES DE GALOIS. 5']3 



Pour » = 11 les memes substitutions auront lieu avec les 

 m^mes notations, 



00-1 5 4-59 ayant respectiveuient 

 pour conjointes 2 6 8 10 7. 



Ainsi pour les cas de /? = 5, 7, 'I i I'equation modulaire s'a- 

 baisse au degre;;. 



En toute rigueur, cette reduction n'est pas possible dans les 

 cas pluseleves. 



Le Iroisieme Memoire concerneles integrales. 



On sait qu'une somme de terraes d'uoe meme fonction ellip- 

 tique se reduit toujours a un seul terme, plus des quantites alge- 

 briques ou logavillimiques. 



II n'y a pas d'autres fonctions pour lesquelles cette propriete 

 ait lieu. 



Mais des proprietes absolument serablables y snppleent dans 

 toutes les integrales de fonctions algebriques. 



On traite h la fois toutes les integrales dont la differ en tielle est 

 une fonction de la variable et d'une meme fonction irrationnelle 

 de la variable, que cette irrationnelle soit ou ne soit pas un ra- 

 dical, quelle s'exprime ou ne s'exprirae pas par des radicaux. 



On troiive que le nombre des periodes distinctes de Tintegrala 

 la plus generate relative a une irrationnelle donuee est toujoars 

 un nombre pair. 



Soit 2« ce nombre, on aura le theoreme suivant : 



Une somme quelconqiie de termes se reduit a 72 tennes, plus 

 des quantites algebriques et logarilhmiques. 



-Les fonctions de premiere espece sont celles pour lesquelles la 

 partie algebrique et logarithuu'que est nuUe. 



II y en a n distinctes. 



Les fonctions de scconde espece sont celles pour lesquelles la 

 partie complementaire est purement algebrique. 



