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II y en a n distinctes. 



On pent supposer que les differentielles des autres fonctions 

 ne soient jamais infinies qu'une fois pour ar^a, et de plus que 

 leur partie complementaire se reduise a un seul logarithme, 

 log. P , P etaut une quantite algebrique. En desiguant par 

 n (^ , a ) ces fonctions , on aura le theorerae 



U{xya) — Yliay x) = llf a-^ X, 



y a et '^ X etant des fonctions de premiere et de seconde espece. 

 On en deduit , en appelant IT ( « ) et ^ les periodes de 

 n {x:,a) et ji x relatives a une meme revolution dear, 



Ainsi les periodes des fonctions de troisieme espece s'exprlraent 

 toujours en fonctions de premiere et de seconde espece. 



On pent en deduire aussi des theoremes analogues au theo- 

 reme de Legendre 



» E' Y" E" F' = " ^/ — I . 



La reduction des fonctions de troisieme espece a des integrales 

 definies, qui est la plus belle decouverte de M. Jacobi, n'est 

 pas praticable, hors le cas des fonctions elliptiques. 



La multiplication des fonctions integrales par un nombre en- 

 tier est toujours possible, comme I'addition, au moyen d'une 

 equation de degre n dont les racines sont les valeurs a substituer 

 dans I'integrale pour avoir les termes reduits. 



L' equation qui donne la division des periodes en p parties 

 egales est du degre^ ^'^ — \ . Son groupe a en tout 



^pi " — A Q)^ " — p\^ . /p'i ■■ — ^2 u — j \ permutations. 

 L'equation qui donne la division d'une somme de n termes en 



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