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Hacc mas de 30 anos que Mr. Caiicliy nos ha ensenado a cal- 

 cular inmedialamente, sin que ncoesiiemos acudir a la ecuacion 

 del cuiulrado de las diCerencias, una caiitidad nienor que la dife- 

 reiicia eiitre dos raices cualcsquiera de una ecuacion algebrica. 



Catorce anos hace que lea camples rendus des seances de 

 VArademie des sciences contienen la solucion, simple y elemen- 

 tal del cuarto probleraa. Esta solucion me la dirigio desde Pra- 

 ga Mr. Cauchy, dice Moigno, con el siguiente preambulo: «EI 

 metodo que voy a esponer es tan simple, que estrano no se haya 

 presenlado antes al falento de los geometras. Por otra parte, es 

 tan general, que oa inniediatamente valores, lo aproximados que 

 se deseen, de todas las raices reales de las ecuaciones algebri- 

 cas, y comunmente de las ecuaciones trascendentes. Ultimamen- 

 te,las aproxlmaciones sucesivasson, nosolo muyfaciles, sinoaun 

 muy rapidas; Ian rapidas, por lo raeuos, como por elmetodo de 

 Newton, y llega pronto el momento en que el numero de cifras 

 decimales es mas que duplicado a cada nueva operacion.M Mon- 

 sieur Cauchy anade : «Las ventajas del nuevo metodo son tan 

 sensibles, que una vez publicado, no dejara, a mi parecer, de 

 adoptarse y practicarse por los amigos de las ciencias.» 



Antes de esponer la nueva solucion con todos los desenvol- 

 vimientos que puede j debe recibir, convendra reducirla a su 

 espresion mas sencilla. 



He aqui el enunciado analitico y geomeUico, uno despues de 

 otro, del problema propueslo: 



Enunciado analitico. Habiendo hallado un primer valorapro- 

 xiraado a de la menor de las raices reales a de una ecuacion dada 

 f(x)=o, comprendida esta n: entre cr y y4, se pide hallar un se- 

 gundo valor mas aproximado a de esta misma raiz «. El primer 

 valor aproximado a puede ser, si se quiere, el limite inferior Ide 

 las raices de la ecuacion propuesta; limite que so calcula inme- 

 diataniente, y se puede tomnr por A el limite superior de estas 

 mismas raices. 



El problema podria aun enunciarsc analiticaraente como si- 

 gue. Siendo dado un primer valor aproximado a de la menor a 

 de las raices de la ecuacion f(a-)=o, forraar, partiendo de a y de 

 t(x)=:o, una ecuacion de primer grado, cuya raiz unica a sea un 

 valor mas aproximado do ^- tfuo n. 



Enunciado (jeomeUico. La cnrva representada por la ecua- 



