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 habra icsultado negativa despuesde sei' cero para un valor at 

 de m cotnprendido entre a y ^ y dado por la ecuacion 



l(a)-H>ni {a^ — ;»)=<>; 



(le donde sale 



f(i.) 



Oi =a ; 



mi 



ffi , es precisamenle e) segundo valor mas aproximado a laraiz «. 



Designando, pues, por aa , as , ai valores deducidos de 



rt* . aj , a-, como ai lo es de n, se obtendra una s6rie de 



cantidades 



f(a) f(ai) f(a2) 



ini 1112 1113 



que se aproximaii mas y mas a la menor raiz c; se podra, pues, 

 calcular esta raiz con el grado de aproxiraacion que se desee. 



Geometricamente. La recta y=f(a)-(-wi (a? — aj parte, como la 

 curva y=f(x), desde el punto a;=a.y=f(a), y su ordenada es cons- 

 tantemente menor que la de la curva; ella encontrara, pues, al 

 eje de las c mas pronto, y la abscisa de este punto de encuen- 

 tro es el valor mas proximo a la raiz a. 



Si se recuerda que la correcciou dada por el metodo de New- 



ton es, en el caso que hcmos considerado, -V; . representando 



f'(a) 



{'{x) el poliiioaiio derivado de i{^), se vera que la correccijn 

 nueva no diiiere de la antigua mas que por haber puesto 

 ,^,fa) — 4;(\) por f'(a), cuya espresion >^(a) — ■^■(A) es muy facil de 

 caloular. Pero hay esta ventaja mas en la nueva correccion, que 

 es el ser siempre cierta, mientras que la antigua era muclias 

 veces incierta, y en algunas ocasiones nos separaba de la verda- 

 dera r?iz en lugar de aproximarnos a ella. 



Se demuestia facilmente, y se halla espuesta en muchas al- 

 gebras elementales, la formula siguiente: 



/(a;)=f(a)-+-(a;— a)fTa;-f^(a;— a)!, 



en la que 6{x — a) Indica una fraccion de <r — a, 6 ^ un niimero 

 raenov que la unidad. Comparando esta ecuacion con la que con- 

 tiene a Ffa.-) 



fta;)=rf(a)-^(£r— a)F(rr), 



